Точка дотику вписаного в прямокутний трикутник кола ділить його гіпотенузу у відношенні 2 : 3. Катет дорівнює 12 см. Знайдіть площу вписаного круга.

Відповідь:Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойствами равностороннего треугольника и биссектрисы.

В равностороннем треугольнике биссектриса делит основание на две равные части и перпендикулярна основанию. Обозначим точку пересечения биссектрисы с основанием треугольника как точку D.

Так как треугольник ABC равносторонний, то AD = DB, и треугольник ADB является равнобедренным. Значит, DM — медиана этого треугольника и одновременно биссектриса угла ADB.

Поскольку BM является биссектрисой угла ABC, угол MBF равен половине угла ABC, то есть 60 градусов. Значит, треугольник BMF — равносторонний, и все его стороны равны. Пусть сторона треугольника BMF равна х.

Так как треугольник BMF равносторонний, то MB = BF = х.

Также угол BDM равен половине угла ADB, который в равностороннем треугольнике равен 60 градусов. Значит, угол BDM равен 30 градусам.

Мы можем применить теорему синусов к треугольнику BDM:

sin(30 градусов) = DM / MB.

Так как sin(30 градусов) = 1/2, получаем:

1/2 = DM / х.

Теперь мы можем выразить DM через х:

DM = х / 2.

Так как MB = х, получаем:

DM = MB / 2.

Таким образом, расстояние от точки M до прямой AB равно половине длины стороны треугольника BMF, то есть DM = MB / 2.

Так как BM = 30 см (дано в условии), получаем:

DM = 30 см / 2 = 15 см.

Итак, расстояние от точки M до прямой AB равно 15 см.

Пояснення:

Для знаходження площі рівнобедреної трапеції треба знати її основи і висоту, яка є відрізком, проведеним перпендикулярно до основ. В нашому випадку бічна сторона не є висотою, а тому треба знайти її.

За теоремою Піфагора можна знайти довжину бічної сторони, яка є гіпотенузою прямокутного трикутника, утвореного бічною стороною, і половиною різниці основ:

a = √( (10-18/2)^2 + 5^2 )
a = √( (-4)^2 + 5^2 )
a = √( 16 + 25 )
a = √41

Тепер можна знайти площу трапеції за формулою:

S = ((a + b)/2) * h

де a і b - основи трапеції, h - висота трапеції

S = ((18 + 10)/2) * √41
S = (28/2) * √41
S = 14√41 кв. см

Отже, площа рівнобедреної трапеції дорівнює 14√41 кв. см.