Через кінці діаметра KN проведено дві рівні хорди MN і KL. Знайти довжину діаметра KN, якщо MN = KL = 5, 6 см; ∠MNO = 60°.

11,2 см

Объяснение:

Достроим MK. Угол КМN опирается на полуокружность=> угол KMN=90°, а треугольник МNK-прямоугольный.

MN/NK=cos 60°=2

NK=2MN=11,2см

Из формулы для радиуса квадрата вписанного в окружность:
r=a/√2, где r-радиус описанной около квадрата окружнсти, a-сторона квадрата, выведем формулу для стороны, получим:
a=r√2
Теперь найдём радиус. 
Поскольку нам известен периметр правильного шестиугольника, мы можем легко вычислить одну его сторону: 144/6=24 см.
Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности (если провести диагонали в шестиугольнике видно, что получается 6 равносторонних треугольников).

Ну и теперь подставляем в нашу формулу, получаем:
a=24√2 см

Проведём 2 высоты. Их длины обозначим за х, тогда длина нижнего основания - 3х. Заметим, что прямоугольные треугольники, отсечённые высотами по бокам трапеции, равнобедренны (углы по 45 градусов). Значит длины высот равны длинам их нижних сторон (лежащих на большем основании) и равны по x. Тогда в середине трапеции остаётся прямоугольник, у которого боковые стороны (являющиеся высотами) равны по х, нижняя сторона равна 3х - х - х = х. Получается, что этот прямоугольник - квадрат, следовательно все его стороны равны по 8, значит х = 8, следовательно высота трапеции = 8, нижнее основание = 3 * 8 = 24.
Ищем площадь. S трапеции = произведению высоты на полусумму оснований.
S = 8 * ((8 + 24) / 2)
S = 8 * 16
S = 128
ответ: S = 128 см^2.