Дано: треугольник АВС , А(-14: -12), В(12;12) и С(20;-4 Напишите уравнение медианы АМ.

Объяснение:

Дано: ABCD - параллелограмм.

АК = КВ; ВЕ = ЕС.

Найти: KO : OD; AO : OE.

Проведем ЕН || АВ

⇒ АВЕН - параллелограмм (по определению)

⇒ АН = НD

Противоположные стороны параллелограмма равны.

⇒ ВC = AD; ВЕ = АН ⇒ АН = НD

1. Рассмотрим ΔАКD.

АН = НD; AK || HM

Признак средней линии треугольника: если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей — этот отрезок можно назвать средней линией этого треугольника.

⇒ НМ - средняя линия.

Пусть АК = КВ = а.

Средняя линия равна половине основания.

2. Рассмотрим ΔАКО и ΔОЕМ.

∠1 = ∠2 ( накрест лежащие при АВ || НЕ и секущей АЕ)

∠3 = ∠4 (вертикальные)

⇒ ΔАКО ~ ΔОЕМ (по двум углам)

Составим отношение сходственных сторон:

3. КМ = МD (НМ - средняя линия ΔАКD)

Пусть КО = 2х, тогда ОМ = 3х ⇒ КМ = МD = 5x.

OD = 3x + 5x = 8x

Получим:

KO : OD = 1 : 4; AO : OE = 2 : 3.

1. Построим полное сечение призмы плоскостью BDE1. Т.к. плоскость BDE1 пересекает параллельные плоскости ABCDEF и A1B1C1D1E1F1 по двум параллельным прямым, то ищем в плоскости A1B1C1D1E1F1 прямую параллельную BD и проходящую через точку E1.

Т.к. четырехугольник A1B1D1E1 - прямоугольник, то A1E1 || B1D1.

Т.к. четырехугольник BDD1B1 - прямоугольник, то BD || B1D1, откуда получаем, что A1E1 || B1D1.

Т.е. полным сечением призмы плоскостью BDE1 будет прямоугольник A1BDE1 (см. рис. 1)

Найдем проекцию прямой CC1 на плоскость  A1BDE1. Для этого в плоскости A1B1C1D1E1F1 опустим перпендикуляр C1O1 на отрезок A1E1, а в плоскости ABCDEF опустим перпендикуляр CO на отрезок BD.

Продолжим прямые CC1 и OO1 до пересечения в точке G.

Угол C1GO1 (см. рис. 2) и будет искомым углом между прямой CC1 и плоскостью BDE1. Найдем его.

CO найдем из равнобедренного треугольника BCD, в котором он является высотой проведенной к основанию. Боковые стороны CB = CD = 1. Угол при вершине BCD = 120° (ABCDEF - правильный шестиугольник), а значит ∠DBC = ∠BDC = 30°, откуда CO = CB / 2 = 1/2.

C1O1 = C1H + HO1 = CO + D1E1 = 1/2 + 1 = 3/2

В треугольнике O1OH сторона OH = CC1 = 1, а HO1 = D1E1 = 1, значит он равнобедренный и прямоугольный, откуда ∠HOO1 = 45°

Т.к. ΔHOO1 подобен ΔO1GC1, то ∠O1GC1 = ∠HOO1 = 45°,

т.е. угол между заданной прямой и плоскостью равен 45°

2. Для того, чтобы найти угол между плоскостью CB1D1 и прямой AB, найдем угол между этой плоскостью и прямой C1D1 параллельной прямой AB. (см. рис. 3)

Треугольник CD1B1 - равносторонний, т.к. все его стороны являются диагоналями равных квадратов со стороной 1.

Точка C1 равноудалена от точек C, B1 и D1, а значит в правильной треугольной пирамиде C1CB1D1 (см. рис. 4) проекция точки C1 на основание CB1D1 попадет в центр описанной окружности ΔCB1D1.

В правильном треугольнике CB1D1 все стороны равны (как диагонали квадратов со стороной 1). Радиус окружности описанной около равностороннего треугольника равен , откуда

Из прямоугольника тругольника C1OD1 найдем синус угла C1D1O, который и будет искомым: