Две прямые касаются окружности с центром О в точках А и В пересекаются в точке С.Найдите угол между этими прямыми , если АВ0=45градусов.

а) по следствию из теоремы синусов:

a / sin∠A = 2R

sin∠A = a / (2R) = 5/8

По значению синуса угол однозначно определить нельзя, он может быть как острым так и тупым, значит треугольник задан неоднозначно.

б) S = 1/2 · ab·sin∠C

sin∠C = 2S/(ab) = 24 / 30 = 4/5

По значению синуса угол однозначно определить нельзя, он может быть как острым так и тупым, значит треугольник задан неоднозначно.

в) по теореме косинусов:

АС² = BC² + AB² - 2·BC·AB·cos∠ABC

169 = BC² + 64 - 16 · BC · (-1/2)

BC² + 8·BC - 105 = 0

D = 64 + 420 = 484 = 22²

BC = (- 8 + 22)/2 = 7 или BC = (- 8 - 22)/2 = - 15 - не подходит по смыслу задачи

Так как третья сторона находится однозначно, то и треугольник задан однозначно.

Объяснение:

Центр окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, лежит на середине отрезка КЕ (точки К и Е - середины оснований).

Так как точка пересечения диагоналей лежит на том же отрезке, но ближе к меньшему основанию, высота пирамиды лежит на образующей конуса, проходящей через точку К.

Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности, а суммы противолежащих сторон равны.

Итак, ВР = КЕ = 2R,

AB + CD = AD + BC

AD = b,  BC = a.

Чтобы найти высоту пирамиды, надо знать длину КН, а для этого найти расстояние между центром окружности и основанием высоты пирамиды ОН = х.

ΔАВР:  ∠АРВ = 90°,

AP = BP · ctg α = 2R · ctg α

Тогда

Так как по свойству равнобедренной трапеции

АР = (AD - BC) / 2, то

b - a = 2AP = 4R · ctg α

ΔAHD ~ ΔCHB по  двум углам, тогда их высоты относятся как сходственные стороны:

a(R + x) = b(R - x)

aR + ax = bR - bx

x(a + b) = R(b - a)

KH = R - x = R(1 - cos α)

Справа на рисунке осевое сечение конуса, проходящее через хорду КЕ.

∠KSH = ∠KMO = β как соответственные при SH║MO и секущей КМ.

SH = KH · ctg β = R(1 - cos α) · ctgβ

Итак, объем пирамиды:

Осталось из прямоугольного треугольника МОЕ выразить R: