Две прямые касаются окружности с центром О в точках А и В и пересекаются в точке С. Найдите угол между этими прямыми, если угол ABO=50 градусов

Рассмотрим треугольники AOC и ВОD. Они равны по двум сторонам и углу между ними:
- АО=ВО пo условию;
- DO=CO по условию;
- углы AOC и ВОD равны как вертикальные углы.
У равных треугольников равны соответственные углы ACO и ВDО. Рассмотрим их. Это накрест лежащие углы при пересечении двух прямых AC и ВD секущей CD. Они равны как мы доказали выше. Используем один из признаков параллельности двух прямых: если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит AC II BD. 

Указанные углы - внутренние односторонние. Их сумма - 180°.
Обозначим меньший угол AMN за х, а CNM - 3x.
х+3х = 180     4х = 180    х = 18/0 / 4 = 45° - угол AMN,
3х = 3*45 = 135° - это угол CNM.
Из 8 углов они повторяются - Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы

Углы  и  — вертикальные. Очевидно,вертикальные углы равны, то есть

Конечно, углы  и ,  и  — тоже вертикальные.

Углы  и  — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна 180° .

Углы  и  (а также  и ,  и ,  и ) — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны. 
, 
,