В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник со сторонами 5, 5 и 8 см. Через большую сторону нижнего основания и середину противолежащего ребра проведена плоскость, образующая угол 30 градусов с основанием призмы. Вычислите площадь сечения.

Пусть в трапеции АВСД, угол А = 60°, а угол Д = 30°.

Опустим из концов верхнего (меньшего) основания ВС высоты ВМ и СР на основание АД. ВМ = СР = Н

Разность оснований АД - ВС = 17 - 7 = 10(см)

Пусть АМ = х, тогда ДР = 10 - х.

tgА = ВМ:AM

или

tg60° = Н:х, откуда Н = х·tg60° или

Н = х·√3

tgД = СР:ДР

или

tg30° = Н:(10-х), откуда Н = (10 - х)·tg30° или

Н = (10 - х):√3

Приравняем правые части выделенных формул и найдём х

х·√3 = (10 - х):√3

3х = 10 - х

4х = 10

х = 2,5

10 - х = 7,5

Итак, АМ = 2,5см, ДР = 7,5см.

Теперь найдём боковые стороны

АВ = АM: cos 60°

АВ = 2,5: 0,5 = 5(cм)

СД = ДР: cos 30°

СД = 7,5: 0,5√3 = 15:√3 = 5√3(см)

ответ: боковые стороны АВ = 5см, СД = 5√3см

 

 

Рассмотрим треугольники на которые ромб делится диагоналями.

Против угла в 30° катет равный половине стороны. Диагональ в 2 раза длинее.

d=6√3см, второй катет D/2=√(6√3)²-(3√3)² = √108-27=√81=9 cм

D = 18 cм

Для определения радиуса вписанной окружности найдем высоту маленького треугольника через его площадь

s = √p(p-a)(р-b)(p-c), где р - полупериметр  p=(9+3√3+6√3)/2 = 4,5+4,5√3

s=√(4,5+4,5√3)(4,5+4,5√3-3√3)(4,5+4,5√3-6√3)(4,5+4,5√3-9)=√(4,5+4,5√3)(4,5+1,5√3)(4,5-1,5√3)(-4,5+4,5√3) = √(60,75-20,25)(20,25-6,75) =√40,5*13,5 =√546,75

R = s/a = √546,75/(6√3) = 13,5/6 = 2,25 cм