Диогонали трапеции разбивают ее на 4 треугольника.докажите, что треугольники, прилежащие к боковым сторонам равновелики.

пусть трапеция авсд, а о точка пересечения диагоналей, тогда

площадь abd =s aob + s aod = 1/2* ad*h, где h высота треугольника ( и трапеции) проведенная   к ad.

s acd = s cod + s aod = 1/2*ad*h

из двух равенств следует что s abd = s acd => s aob + s aod= s cod + s aod => s aob = s cod

странно, уж все просто

провели где то на плоскости прямую, к ней в любом месте провели другую под заданным углом. от вершины по первой прямой отложили сторону. теперь провели луч биссектрисы того же угла (это простое дело, обычно на равных расстояниях от вершины угла проводят перпендикуляры до пересечвения и точку пересечения соединяют с вершиной.. можно до ромба достроить, проводя параллельные линии, это даст тот же результат). от вершины по этому лучу отложили биссектрису. через не общие концы стороны и биссектрисы провели прямую до пересечения со второй стороной угла. всё.

тут есть маленькая засада - дело в том, что пересечение может оказаться не там где хотелось бы - это означает, что биссектриса слишком длинная, и не решается. 

1) треугольник прямоугольный угол 90 град--второй угол 45 град-третий 45

    значит треуг. равнобедренный--половина квадрата--со стороной 10 см--         радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности=половина диагонали =d/2

  d^2=10^2+10^2-- d=10√2   -- r=5√2

2) в параллелограмме точка пересечения делит диагонали

    половина параллелограмма= трегольник ,в котором   известно три стороны

    (одна диагональ параллелограмма d1=10см, стороны a= 5см b=7см. )

    и есть медиана m, равная половине второй диагонали   d2=2m

длина медианы выражается формулой m^2= (a^2+b^2)/2 - d1^2/4

тогда m=√(5^2+7^2)/2-10^2/4=2√3   отсюда d2=4√3