З точки, що лежить на колі, проведено три відрізки, один із яких проходить через центр кола і з*єднує дві точки кола. Довжини цих відрізків дорівнюють 3 см, 4 см, 8 см. Знайдіть довжину хорди

Смысл таких задач всегда одинаковый - надо найти, в какой пропорции точка К делит АР, а точка Р - сторону ВС. Оказывается, чтобы это определить, достаточно условий, что ВМ - медиана и К - её середина. Как будет видно дальше, в этой задаче достаточно найти КР/АК;

Пусть MN II BC, и точка N лежит на АР. Тогда треугольники MNK и BKP равны, так как ВК = КМ, и углы при этих сторонах равны. то есть NK = KP. При этом AN = NP, то есть КР = ВР/4, а AK = BP*3/4; и КР/АК = 1/3;

Этого уже достаточно, чтбы решить задачу. Дело в том, что отрезок СК делит треугольник АСР на два треугольника АКС и СКР, отношение площадей их равно 3 (у них высота общая - расстояние от С до АР, поэтому площади относятся, как АК/КР). При этом отрезок КМ делит треугольник АКС на два, равных по площади, так как М - середина ВС.

То есть если площадь СКР = s, то площадь АКС равна 3s, площади АКМ и КМС равны 3s/2, площадь КPСM равна s + 3s/2 = 5s/2;

и отношение площади KPCM к площади АМК = 5/3; задача решена.

 

Теперь пусть PQ II BC, Q лежит на ВМ. Тогда треугольник PQK подобен треугольнику ВМК. QK/KM = КР/АК = 1/3; QK = KM/3 = ВМ/6; QM = BM*(1/2 + 1/6) = BM*2/3; То есть BQ = BM/3, и, соответственно, ВР = ВС/3; 

отсюда следует, что площади треугольников АРВ и АРС относятся, как 1/2. Это не имеет прямого отношения к задаче, но - если очень хочется - позволяет найти площади всех треугольников АВК, ВКР, АКМ и четырехугольника КРСМ по отношению к площади АВС. Можете сами попробовать :)

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна 180(n-2), где n- число сторон в многоугольнике.

Возьмем любой многоугольник и поставим внутри его точку О.  Затем эту точку О соединим со всеми вершинами многоугольника. Получится n треугольников, где n - число сторон многоугольника.  Сумма углов в треугольнике равна 180 градусов. А сумма углов в n треугольниках будет равна 180n. А сумма углоа вокруг точки О равна 360 градусов. И если мы из 180n  вычтем сумму углов вокруг точки О, то получится  180n - 360 = 180(n-2).

 

Что и требовалось доказать.