К какой из сторон треугольника центр масс расположен ближе, а от какой он удален дальше?​

Катет треугольника лежащий против угла 30 градусов будет равен половине гипотенузы , то есть , равен : 4 / 2 = 2 . Другой катет будет равен : Sqrt(4^2 - 2^2) = Sqrt(16 - 4) = Sqrt(12) = 2Sqrt(3) . 
Примем меньшую сторону вписанного прямоугольника равной : х , тогда большая сторона прямоугольника будет равна : 2х .
Меньшая сторона прямоугольника образует треугольник с углом 30 градусов и углом 90 градусов лежащим на гипотенузе  , тогда сторона лежащая на катете размером 2Sqrt(3) будет равна : 2х , так как она будет гипотенузой этого треугольника .  Большая сторона прямоугольника образует со стороной треугольника равной 2Sqrt(3) еще один треугольник с углами 30 и 90 градусов и гипотенузой равной 2х . Тогда катет этого треугольника лежащий на катете равном 2 будет равен 2х/2 = х , а катет лежащий на стороне равной 2Sqrt(3) , будет равен : sqrt(2x^2 - x^2) = Sqrt(4x^2 - x^2) = Sqrt(3x^2) = xSqrt(3) . Отсюда имеем , что катет треугольника равный 2Sqrt(3) = 2x + xSqrt(3)  ;    2Sqrt(3) = x(2 + Sqrt(3))  ;  x = 2Sqrt(3) / (2 + Sqrt(3)) . Другая сторона прямоугольника будет равна : 2х = 4Sqrt(3) / (2 + Sqrt(3)) . Площадь прямоугольника будет равна : 2sqrt(3)/ (2 + Sqrt(3)) * 4Sqrt(3) / (2 + Sqrt(3)) = 8 * 3 / (4 + 2Sqrt(3) + 3) = 24 / (7 + 2sqrt(3))

Точка E - пересечение сторон AD и BC.

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
В треугольнике DEC точка пересечения биссектрис углов D и C - точка Q - лежит на биссектрисе угла E.

Биссектрисы двух внешних углов и третьего внутреннего угла треугольника пересекаются в одной точке.
В треугольнике AEB точка пересечения биссектрис внешних углов ABC и DAB - точка P - лежит на биссектрисе угла E.

Прямая PQ совпадает с биссектрисой угла E.

Если в треугольнике биссектриса является также его высотой, то такой треугольник - равнобедренный.
В треугольнике AEB биссектриса EP является также высотой (PQ⊥AB). Углы ABE и BAE равны как углы при основании равнобедренного треугольника.

Углы ABC и DAB равны как смежные с равными.