Дано куб ABCDA1B1C1D1. Обчисліть кут між векторами BC1 І BK , де K- середина ребра DD1

Ответ: NC : BC = 7 : 10.

1) Треугольник MNC, образовавшийся после проведения плоскости, параллельной АВ, подобен треугольнику АВС по признаку о равенстве 3-х углов одного треугольника трём углам другого треугольника:

∠А = ∠NMC - как углы соответственные при параллельных АВ и NM и секущей АС;

∠В = ∠СNM - как углы соответственные при параллельных АВ и NM и секущей ВС;

∠С у обоих треугольников общий.

2) Если принять АМ = 3х, то тогда МС = 7х, а сторона АС большого треугольника АВС равна:

АС = 3х + 7х = 10 х.

3) Из подобия треугольников следует, что отношения стороны, лежащих против равных углов равны.

Следовательно:

NC : BC = МС : АС,

но т.к. МС : АС = 7х : 10х = 7 : 10,

то и отношение NC : BC = 7 : 10.

Ответ: NC : BC = 7 : 10.

Сумма углов четырехугольника =360°

В четырехугольнике ОКЕС углы ЕКО=ЕСО=90° ( свойство радиуса, проведенного в точку касания)

Угол КЕС=360°-2•90°-120°=60°

По свойству отрезков касательных из одной точки КЕ=СЕ. 

∆ КЕС - равнобедренный, его углы при КС равны (180°-60°):2=60° - 

∆ КЕС равносторонний. 

∆ КОС - равнобедренный ( стороны - радиусы). 

Углы при КС=90°- 60°=30°

КЕ=СЕ, КО=СО, ЕО - общая. ∆ ЕКО=∆ ЕСО. 

ЕО - биссектриса угла  КЕС. 

Угол ОЕС =30°

∆ ОЕС - прямоугольный.  

Радиус ОС ( катет) противолежит углу 30°. ⇒

       ОЕ=2•OC=12 см (свойство угла 30°).

КА=СА, ЕА медиана и высота ∆ КЕС,⇒ ЕО ⊥ АС. 

В прямоугольном  Δ АОС угол ОСА=30°⇒ 

ОА=ОС•sin30°=6•0,5=3 см