Угол 1 равен 67, чему равен угол 4?

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон, есть у нее такое свойство.
Т.е. АD:DС=АВ:ВС
Думаю, доказать, что FD|| АВ, вряд ли кто-то сумеет при данных в условии задачи отношениях отрезков на АС и ВС.

Поясню подробно.
FD может быть параллельно АВ в том случае, если треугольники АВС и FDС подобны.

Тогда углы АВD и ВDF равны как накрестлежащие,

углы ВDFи DВF равны как углы, равные половине угла В, и

FD равна ВF как сторона равнобедренного треугольника с равными углами при основании ВD.
И АС:DС=ВС:СF
Но по условию задачи
АС:DС=4:1,
а ВС:СF=6:1 -  не получается ни подобия, ни применения свойства биссектрисы треугольника. 

Поэтому здесь возможны два варианта:
1) либо задача специально дана с заведомо неверными величинами для того, чтобы решающий ее доказал невозможность FD|| АВ
2) либо условие задачи по ошибке списано неверно.
--------------
НО если сторона ВС равна 4, все получится.
Тогда FD=3 см как соответственная сторона стороне АВ при отношении сторон 4:1, так и из равнобедренного треугольника ВDF, где DF=ВF=3 см
И отношения отрезков основания АС будут равны отношению АВ:ВС,
и АС:DС=4:1,
а ВС:СF=4:1

Пусть BN=NC=6; MN прл АВ => BC пп MN, а также и КМ (по условию); => KN пп BC.

a) KN = корень(КМ^2 + MN^2) = корень (252), не упрощается.

b) в пр тр-ке KAM катеты 6 и 6*корень(3), поэтому угол KAM = 60 градусам. 

АК = 2*АМ=12; тр-к АВК равнобедренный (и прямоугольный, так как АВ пп АМ и КМ, а => АВ пп АК :))

SABK = 12*12/2 = 72

SAMB = 6*12/2 (между прочим, и = SABK*cos(KAM)) = 36;

c) Поскольку ВС прл плоскости АКМ, то расстояние от АК до ВС равно АВ (которая  пп беим прямым) ;

 

*пп - перпендикулярно;

прл - параллельно;

тр-к - треугольник

пр тр-к - прямоугольный треугольник.