Площа повної поверхні правильного тетраедра дорівнює 32√ 3 см^2 Знайти його ребро.

MN- будет совпадать с диаметром тогда и только тогда, когда описанная трапеция - квадрат. В противном случае диаметр лежит на этой средней линии, т.к. она проходит через центр окружности и диаметр будет меньше этой средней линии. То, что диаметр принадлежит средней линии вытекает из того, что отрезок соединяющий середины оснований трапеции - перпендикулярен основаниям ,проходит через центр окружности равен двум радиусам и делится центром окружности пополам ( т.е. этот отрезок, как раз совпадает с диаметром). А средняя линия тоже делит этот отрезок пополам  значит тоже проходит чрез центр окружности.

Найдём координаты точки С - середину отрезка ВМ:
С((2-4)/2=-1; (3-3)/2=0; (1-1)/2=0) = (-1; 0; 0).
Расстояние от точек В и М до С равно:
ВС= МС = √((-1-2)²+(0-3)²+(0-1)²) = √(9+9+1) = √19.

Если в эту систему координат поместить сферу с центром в точку С, то любая точка на сфере составляет с точками В и М прямой угол.

Уравнение сферы: (x-xo)²+(y-yo)²+(z-zo)² = R².
На оси OZ координаты по х и по у равны нулю.
Подставим нули в уравнение сферы с центром в точке С и радиусом √19: (0-(-1))²+(0-0)²+(z-0)² = 19.
1+z² = 19.
z² = 18.
z = +-√18 ≈ +-4,24264.
ответ: координаты точек А и А1 на оси ОZ равны +4,24264 и -4,24264.