Стороны основания прямой треугольной призмы 4 см, 8 см и 9 см. Вычислить площадь боковой поверхности призмы, если её высота в 3 раза больше меньшего основания призмы

Назовем трапецию АВСD. АВ=17 см, ВС=16 см, СD=25 см, AD=44 см

Площадь трапеции равна произведению её высоты на полусумму оснований. Основания даны, высоту надо найти.

 Один из решения:

 Проведем СМ параллельно ВА. СМ=17 см (или  ВК параллельно СD. Тогда ВК=25). 

Получим треугольник, в котором известны три стороны: 17, 25 и 28 см. 

По ф. Герона площадь этого треугольника равна 210 см².

Высота СН является и высотой трапеции. 

S(∆ MCD)=CH•MD:2⇒

CH=2•S:MD=420:28=15 см

S(ABCD)=CH•(BC+AD):2=15•30=450 см²

В основании пирамиды лежит квадрат. Обозначим АВСД. Диагонали пересекаются в точке О. Вершину пирамиды обозначим S Рассмотрим треугольник АSО. Он прямоугольный, по теореме Пифагора определим катет ОА² = 100-64=36, ОА=6. 
Определим сторону основания пирамиды.
АВ²=36+36= 72,
АВ=√72=6√2.
Площадь основания равна S= АВ²=72,
Объем пирамиды вычислим по формуле:
V=(S · h) / 3 = 72·8/3=24·8=192 (куб. ед.)
Все боковые грани пирамиды  равнобедренные треугольники равные между собой.
Рассмотрим одну из боковых граней: АSВ. Построим высоты SК
АК= 3√2.
Определим длину SК по теореме  Пифагора.
SК²=10²-(3√2)²=100-18=82,
SК=√82.
Определим площадь грани АSВ.
S =0,5·АВ · SК = 0,5·6√2·√82=3√164.
Площадь боковой поверхности пирамиды равна
4·3√164=12√164.
Полная площадь поверхности пирамиды равна 
12√164+72≈12·13+72=228(кв. ед.)
ответ: 192 куб. ед., 228 кв. ед.