Найдите АЕ, если А=30, а Е=60​

Объяснение: на рисунке не обозначена вершина треугольника. Пусть она это вершина В

Из ΔЕСВ, где ∠С=90*,∠Е=60*⇒∠В=90*-60*=30*, тогда ЕС- катет против угла 30* и ЕВ - гипотенуза и ЕВ=2ЕС, ЕВ=2×7=14

Из ΔАВС, где ∠С=90*, ∠А=30* ⇒∠АВС=90*-30*=60*, тогда ∠ЕВА=∠СВА-∠СВЕ=60*-30*=30*⇒ΔАЕВ - равнобедренный и

АЕ=ЕВ=14

Поскольку задача "продвинутая", я изложу решение в стиле "для продвинутых".
Если описать окружность вокруг треугольника ABC, и продлить AD до пересечения с этой окружностью в точке H1, то
DH = DH1; доказать это очень просто, если заметить, что
∠H1BD = ∠H1AC; (оба вписанных угла опираются на дугу H1C) а
∠H1AC = ∠HBD = 90° - ∠C; то есть
∠H1BD = ∠HBD; дальше очевидно.
Для хорд BC и AH1 можно записать BD*CD = AD*DH1 = AD*(AD - AH);
Если теперь достроить заданную в задаче полуокружность до полной, то BC будет хордой и в ней, и можно записать аналогично
BD*CD = MD^2; (ну, диаметр делит перпендикулярную ему хорду пополам)
Получилось
AD*(AD - AH) = MD^2; или AH = AD*(1 - (MD/AD)^2); число найдите самостоятельно.

Техническая простота решения не должна вводить в заблуждение. На самом деле полученный ответ имеет очень нетривиальную интерпретацию. Дело в том, что AH - диаметр окружности, описанной вокруг треугольника AB1C1 (где B1 и С1 - основания высот BB1 и CC1). Получается, что этот диаметр не зависит от положения точки D на BC, и от величины BC, а только от AD и MD. Слово "только" не совсем точное, поскольку величина BC не является независимой. НО результат необычный.

Поскольку задача "продвинутая", я изложу решение в стиле "для продвинутых".
Если описать окружность вокруг треугольника ABC, и продлить AD до пересечения с этой окружностью в точке H1, то
DH = DH1; доказать это очень просто, если заметить, что
∠H1BD = ∠H1AC; (оба вписанных угла опираются на дугу H1C) а
∠H1AC = ∠HBD = 90° - ∠C; то есть
∠H1BD = ∠HBD; дальше очевидно.
Для хорд BC и AH1 можно записать BD*CD = AD*DH1 = AD*(AD - AH);
Если теперь достроить заданную в задаче полуокружность до полной, то BC будет хордой и в ней, и можно записать аналогично
BD*CD = MD^2; (ну, диаметр делит перпендикулярную ему хорду пополам)
Получилось
AD*(AD - AH) = MD^2; или AH = AD*(1 - (MD/AD)^2); число найдите самостоятельно.

Техническая простота решения не должна вводить в заблуждение. На самом деле полученный ответ имеет очень нетривиальную интерпретацию. Дело в том, что AH - диаметр окружности, описанной вокруг треугольника AB1C1 (где B1 и С1 - основания высот BB1 и CC1). Получается, что этот диаметр не зависит от положения точки D на BC, и от величины BC, а только от AD и MD. Слово "только" не совсем точное, поскольку величина BC не является независимой. НО результат необычный.