Два сечения перпендикулярны диаметру, делят его на части 4, 5, 11.Найти площади и объем полученных частей и шара.​

∆АНВ ~ ∆CPE (по острому углу <A = <C в равнобедренном ∆АВС) =>

<CEP = <ABH.

<ABH = <CBH = <DBH. (ВН - высота, медиана и биссектриса).

<CDA+<ADB = 180° (смежные) =>  

<CDA+<DBA  = 2<CDE+2<DBH =180°  =>  <CDE+<DBH = 90°.

<CDE= 90 - <DBH = 90 - <ABH. Но <ABH = <CEP (показано выше).

Тогда <CDE =90 - <CEP  или <CEP = 90  - <CDE.  

В прямоугольном треугольнике PDE

PED = 90 - <CDE   =>

<CEP = <PED и треугольник СED - равнобедренный, где ЕР и высота, и медиана, и биссектриса.

Следовательно, точка Е - пересечение прямых АС, ЕР и DE, что и требовалось доказать.

Дано: АВСД - трапеция, АВ=СД, АД=16√3, ∠А=∠Д=60°, АС⊥СД. Найти S(АВСД).

Решение: Проведем высоту СН, тогда S(АВСД)=(ВС+АД):2*СН.

Рассмотрим ΔАСД - прямоугольный, ∠Д=60°, тогда ∠САД=90-60=30°, а СД=1\2 АД=16√3:2=8√3.

Диагональ АС перпендикулярна к боковой стороне и делит угол А пополам, значит большее основание трапеции в два раза больше меньшего основания и её боковых сторон;  и высота трапеции равна половине её диагонали.

СД=ВС=16√3:2=8√3;

АС²=(16√3)²-(8√3)²=768-192=576;  АС=√576=24.

СН=1\2 АС=24:2=12.

S(АВСД)=(8√3+16√3):2*12=144√3 (ед²).

ответ: 144√3 ед²