Дан треугольник ABC.AC= 37, 2 см;∢ B= 30°;∢ C= 45°.АВ=... √... см

Если диагональ трапеции, вписанной в окружность, перпендикулярна боковой стороне, то ее большее основание - диаметр описанной окружности (см. рисунок).

Обозначим трапецию АВСД. Опустим высоту ВН. 

Треугольник АВД - прямоугольный, АН- проекция катета АВ на гипотенузу АД. 

АД=2R= 25 (см)

Катет - среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией катета на нее.

АВ²=АД•АН

АН=АВ²:АД=225:25=9 (см)

ВН=√(AB²-AH²)=√(225-81)=12 (см)

Высота равнобедренной трапеции, опущенная на большее основание,  делит его на отрезки, больший из которых равен средней линии трапеции. 

НД=25-9=16 (см)

Площадь трапеции равна произведению ее высоты на полусумму оснований, т.е. на среднюю линию. 

S (АВСД)=ВН•НД=12•16=192 см²

А - боковая сторона равнобедренного треугольника, b - основание треугольника, h - высота (и медиана), проведенная к основанию

b : a = 3 : 2,5
Свойство пропорции - произведение крайних членов равно произведению средних
2,5b = 3a
b = 3a/2,5
b= 1,2a
b/2 = 0,6a  

По теореме Пифагора
h² + (b/2)² = a²
8² + (0,6a)² = a²
64 + 0,36a² = a²
a² - 0,36a² = 64
0,64a² = 64
a² = 64/0,64
a² = 100
a = 10 (см)
b= 1,2 * 10 = 12 (см)

         b          2a -b
r =  √()
         2          2a+b
 

где r - радиус вписанной окружности, а - боковая сторона равнобедренного треугольника, b - основание треугольника

        12            2 * 10 - 12
r = * √( ) = 6 * √(8 / 32) = 6 * √(1/4) = 6 * 1/2 = 3 (cм)
        2              2 * 10 + 12