Дано ∆АВС. По ней проведена медиана АК. АК=АВ=10смВС=20смНайдите угол АКС

Прямокутник АВСД, діагоналі АС та ВД перетинаються в т. О.
ОН - відстань від т. О до більшої сторони прямокутника ВС (отже ОН - висота трикутника ВСО)
ОМ - відстань від т. О до більшої сторони прямокутника АД (отже ОМ - висота трикутника АДО)
ОР - відстань від т. О до меншої сторони прямокутника АВ (отже ОР - висота трикутника АВО)
ОК - відстань від т. О до меншої сторони прямокутника СД (отже ОК - висота трикутника СДО)
Оскільки  Діагоналі прямокутника мають однакову довжину, а також  в точці перетину діляться навпіл, значить трикутник ВСО=трикутнику АДО та трикутник АВО=трикутнику СДО.
А це означає, що і висоти у попарно рівних трикутниках між собою рівні, а саме
ОК=ОР, а ОН=ОМ.
Виходить, що  ОН=ОМ=4 см та ОК=ОР=9 см (по умові задачі сказано, що точка перетину його діагоналей віддалена від його сторін на 4 см і на 9 см).

У прямокутника протилежні сторони рівні.
АВ=СД=ОН+ОМ=4+4=8 см
ВС=АД=ОР+ОК=9+9=18  см
Периметр = сумі довжин усіх сторін прямокутника
Периметр = АВ+ВС+СД+АД
Отже
Периметр = 8+18+8+18=52 см

Відповідь: периметр прямокутника=52 см

В тетраэдре ABCD, где A(1; 0;-1), B(1; 2; 0),C(0; 1;-2), D(-1;-4; 1), найти на плоскости грани ABC точку, ближайшую к вершине D.

Точка на плоскости грани ABC, ближайшая к вершине D, - это основание  перпендикуляра из точки D к плоскости АВС, или по-другому – точка пересечения этого перпендикуляра с плоскостью.

Находим уравнение плоскости и её нормальный вектор.

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA               y - yA                 z - zA

xB - xA           yB - yA               zB - zA

xC - xA          yC - yA               zC - zA = 0

Подставим данные и упростим выражение:

  x - 1            y               z - (-1)

  1 - 1         2 – 0           0 - (-1)

  0 - 1         0 – 1          -2 - (-1) = 0

 x - 1        y       z + 1 |       x - 1        y

 0             2          1    |         0           2

-1           -1          -1    |        -1          -1     =  

= (x – 1)*(-2) + y*(-1) + (z + 1)*0 – y*0 – (x – 1)*(-1) – (z + 1)*(-2) =

= -2x + 2 – y – x + 1 + 2z+ 2 = -3x – y + 2z + 5 = 0 или с положительным коэффициентом при х: 3x + y – 2z – 5 = 0.

Нормальный вектор этой плоскости равен (3; 1; -2) и является направляющим вектором перпендикуляра к плоскости.

Получаем уравнение перпендикуляра из точки D(-1;-4; 1).

((x + 1)/3) = (y + 4)/1 = ((z – 1)/(-2).

Координаты, которые имеет точка М пересечения  x,y,z, должны удовлетворять уравнению прямой и уравнению плоскости. Поэтому, для их определения, необходимо решить систему уравнений, которая включает уравнение прямой и уравнение плоскости. Это система:

{((x + 1)/3) = (y + 4)/1 = ((z – 1)/(-2).

{3x + y – 2z – 5 = 0.

Из уравнения прямой получаем зависимость переменных.

x + 1 = 3y + 12, отсюда y = (1/3)x – (11/3).

-2x - 2 = 3z – 3, отсюда z = (-2/3)x + (1/3).

Подставим их в уравнение плоскости.

3x + ((1/3)x – (11/3)) – 2((-2/3)x + (1/3)) – 5 = 0,

3x + (1/3)x – (11/3) + (4/3)x – (2/3) – 5 = 0,

(14/3)x = 28/3,

x = 28/14 = 2,

y = (1/3)*2 – (11/3) =  -9/3 = -3,

z = (-2/3)*2 + (1/3) = -3/3 = -1.

Найдена точка М пересечения перпендикуляра из точки D с плоскостью ABC.

Это и есть проекция точки D на плоскость АВС.

М(2; -3; -1).