ГЕОМЕТРИЯИз точки О, которая является точкой пересечения медиан правильного треугольника ABC, проведен перпендикуляр OM к плоскости этого треугольника. Найдите угол наклона прямой MA к плоскости ABC, если OM=√3, AB=3√3

Если прямая (DC),  параллельна какой-нибудь прямой (AB), расположенной в плоскости (α), то она параллельна самой плоскости. Если плоскость  проходит через прямую (DC), параллельную другой плоскости (α), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения (EF) параллельна первой прямой (DC).
Расстояние от прямой DC до плоскости α - это перпендикуляр из любой точки этой прямой на плоскость α.
Итак, в прямоугольном треугольнике АЕD катет АЕ равен по Пифагору
АЕ=√(AD²-DE²)=√(36²-18²)=18√3. 
Угол между двумя пересекающимися плоскостями равен углу между прямыми, по которым они пересекаются с любой плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения. То есть угол между плоскостью α и плоскостью квадрата - это угол EAD, cинус которого равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: Sinβ=ED/AD=18/36=1/2. Значит угол между плоскостями равен 30°.
Площадь проекции квадрата на плоскость α - это площадь прямоугольника AEFB, равная S=AB*AE=36*18√3=648√3см²

Примем, что диагонали ромба равны: ВD=12 и АС=16.
Сторона основания (ромба) находится по Пифагору:
АВ=√(АО²+ВО²)=√(6²+8²)=10.
Площадь ромба равна: S=(1/2)*D*d=S=(1/2)*16*12=96.
В треугольнике АВС АМ и ВО - медианы и по свойству медиан точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
Значит ОР=ВО:3=6:3=2. Тогда РD=PO+OD=2+6=8.
Площадь ромба равна и произведению высоты ромба на его сторону, то есть S=a*h, отсюда h=ВН=S/a=96/10=9,6.
Прямоугольные треугольники НВD и KPD подобны и КР/ВН=PD/BD или КР/9,6=8/12, отсюда КР=8*9,6/12=6,4.
В прямоугольном треугольнике SKP угол SKP=60°, значит <KSP=30° и КР=0,5КS.
Тогда по Пифагору SP=√[(12,8)²-(6,4)²]=6,4√3.
Объем пирамиды равен (1/3)So*h, где Sо - площадь основания, а h - высота пирамиды. Тогда V=(1/3)*96*6,4√3=204,8√3.
ответ: V=204,8.