Площадь треугольника abc равна 60. биссектриса ад пересекает медиану вк в точке е. при этом вд: сд=1: 2. найти площадь едск.

:

ac/ab = 2; => ak/ab = 1; => be = ek => saek = saeb = sabk/2 = sabc/4.

sadc = (2/3)*sabc;

sedkc =  sadc -  saek =  (2/3 - 1/4)*sabc = (5/12)*sabc = 25;

 

если у треугольников высота общая, а основания (к которым это высота проведена, конечно) относятся, как p/q, то и площади отностятся как p/q. поэтому, например, медиана делит треугольник на два с одинаковой площадью, а биссектриса - на два, у которых площади относятся, как боковые стороны (того угла, из которого и так далее. по ходу решения я считаю это очевидным и просто использую.

Тут фишка в том,что четырёхугольник овдс внезапно оказывается квадратом. почему так - углы между касательными и радиусами, проведёнными в точки касания, равны каждый по  90 градусов, угол между касательными тоже 90 градусов (по условию),  а также радиусы ов и од, ес-но равны (на то окружность и окружность, чтобы в ней все радиусы были одинаковые). обладая знанием о квадрате, ты найдёшь его диагональ од = 4 * корень(2) это и будет расстояние от точки д до центра, которое ты ищешь. 

Ядаже хотел рисунок сделать, но потом передумал. итак - треугольник abc, cb = 3; ca = 4; ab = 5; m - середина cb, n - середина ab; (кому напомнить, что  mn = 2; и mn ii ac? );   по условию, mn - хорда окружности, которая касается ac; поэтому центр окружности o и точка касания k лежат на перпендикуляре к mn в его середине. то есть ck = 1; ak = 4 - 1 = 3; по условию, окружность  пересекает гипотенузу ab в точке n и еще в одной, которую я обозначу p. нужно найти x = np. заранее не ясно, лежит точка p ближе к a или к b. пусть (я предположу), что к b. тогда ak^2 = an*ap; 3^2 = 2,5*(2,5 + x); x = 11/10 = 1,1; если допустить, что p лежит ближе к a, то x получится отрицательным. то есть полученный ответ - единственный.