Дан треугольник ABC. На стороне AC выбирают точку Q таким образом, чтобы длина отрезка MK, где M и K - основания перпендикуляров, опущенных из точки Q на стороны AB и BC соответственно, оказалась минимальной. При этом QM=1, QK=√2, ∠B=45° . Найдите площадь треугольника ABC.

Точка Р равноудалена от прямых, которые содержат стороны прямоугольного ΔАВС (∠АСВ = 90°) и расположена на расстоянии 4√2 см от его плоскости. Проекция точки Р на плоскость ΔАВС принадлежит этому треугольнику. Найдите угол между прямой РС и плоскостью (АВС), если АС = 12 см,  ВС = 16 см.

Решение

1) Тк точка Р равноудалена от прямых, которые содержат стороны прямоугольного ΔАВС, то  проекцией точки Р на плоскость ΔАВС  является центр описанной окружности , те середина   гипотенузы (точка Е).

Углом между прямой РС и плоскостью (АВС) есть угол между прямой РС и ее проекцией ЕС , те ∠РСЕ.

2)ΔАВС, по т Пифагора АВ=√(АС²+ВС²) , АВ=√(12²+16²)=20 (см)

АЕ=ВЕ=20:2=10 (см). Точка Е-центр описанной окружности R=АЕ=ВЕ=СЕ=10 см.

3)ΔРЕС-прямоугольный (∠РЕС=90°) , tg∠PCE=PE/CE , tg∠PCE=4√2/10=2√2/5,     ∠PCE=arctg(2√2/5).

1) Теорема Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

BC²=AB²+AC²

AB²=BC²-AC²

Площадь прямоугольного треугольника равен половине произведения катетов.

AB=2√6 см. S=5√6 см²

2.

Площадь квадрата равна квадрату стороны.

S=25 см²

3.

У ромба все стороны равны.

Точка пересечения диагоналей ромба делит их пополам. Если взять по половинам диагоналей и сторону ромба, образуется прямоугольный треугольник, где сторона — гипотенуза, полудиагонали — катеты. Полудиагонали d/2=8/2=4 см и D/2=12/2=6 см.

По теореме Пифагора

AB²=(d/2)²+(D/2)²

Сторона ромба 2√13 см

Площадь ромба равна половине произведения Диагоналей

Площадь 48 см²