Сторона равностороннего треугольника АВС равна 13см. Найдите скалярное произведение векторов АВ и АС.

Чтобы найти скалярное произведение векторов АВ и АС, нам нужно знать координаты этих векторов. В данной задаче дано равносторонний треугольник АВС со стороной 13 см. Для удобства решения задачи, предположим, что координаты точки А имеют значения (0, 0).

Так как треугольник равносторонний, то сторона АС будет горизонтальной осью на плоскости, а сторона АВ будет образовывать угол 60 градусов с положительным направлением оси Х. Поэтому координаты точек B и C могут быть найдены следующим образом:

Так как длина стороны треугольника равна 13 см, то координата C будет иметь значение (13, 0), так как она находится на положительной оси X и расстояние до начала координат равно 13 см.

Чтобы получить координаты точки В, мы можем использовать тригонометрические соотношения в равностороннем треугольнике. Поскольку угол АВС равен 60 градусам, каждый из двух углов ВАС и ВСА равен 60/2=30 градусов.

Мы можем использовать соотношение тангенса (тангенс угла = противоположная сторона / прилежащая сторона) для нахождения координат точки B. Противоположная сторона угла ВАС - это отрезок, проводимый от точки В до оси Х (в нашем случае до y = 0). Прилежащая сторона - это отрезок, проводимый от его середины до точки C.

Поэтому мы можем записать:
tan(30 градусов) = (координата точки B по оси Y) / (координата точки B по оси X - координата точки C по оси X / 2)

Решив это уравнение, мы найдем, что координата точки B равна (6.5, 11.258).

Теперь, у нас есть координаты точки B (0, 0) и С (13, 0), и мы можем найти векторы АВ и АС, вычитая координаты точки А из координат точек B и C соответственно:

Вектор АВ = (координата точки B по оси X - координата точки А по оси X, координата точки B по оси Y - координата точки А по оси Y) = (6.5 - 0, 11.258 - 0) = (6.5, 11.258)

Вектор АС = (координата точки C по оси X - координата точки А по оси X, координата точки C по оси Y - координата точки А по оси Y) = (13 - 0, 0 - 0) = (13, 0)

Теперь мы можем вычислить скалярное произведение векторов АВ и АС, используя формулу:
АВ · АС = (координата АВ по оси Х * координата АС по оси Х) + (координата АВ по оси Y * координата АС по оси Y)

Вставляя значения, мы получаем:
АВ · АС = (6.5 * 13) + (11.258 * 0) = 84.5.

Таким образом, скалярное произведение векторов АВ и АС равно 84.5.