1 В треугольнике АВС проведены серединные перпендикуляры OL, ON и OM, которые пересекаются в точке О. Найдите ∠ВАС, если ∠АОВ = 136°, ∠АОС = 142°, ∠ВОС = 82° 2 В треугольнике АВС проведены биссектрисы AL, BN, CM, которые пересекаются в точке О. Найдите угол АВС, если ∠LON = 100°, ∠NOM = 120°, ∠MOL = 140°

В сектор, центральный угол которого 120 градусов, вписан квадрат со стороной а. Найти радиус сектора.

Обозначим вписанный квадрат АВСД, 

В и С - точки касания с дугой сектора,  точки  А и Д - с его сторонами-радиусами, О - вершина угла сектора. 

∆ АОД - равнобедренный, углы при А и Д равны 30º.

Из О проведем биссектрису угла АОД до пересечения с ВС в точке М. Обозначим точку пересечения с АД - Н. 

Тогда ВО - искомый радиус R

R²=МО²+МВ²

МВ=а/2

МО=МН+НО

МН=а, 

ОН=ДН*tg30º=(а/2)*1/√3=a/2√3

МО=а+a/2√3=а(2√3+1)

R²=[3a²+a²(2√3+1)²]:12

R²=a²(4+√3):3

R=a√(4+√3):√3

--------------------------------------------------

Или по т. косинусов:

R²=АВ²+АО²- 2АВ*АО*cos∠ВАО

∠ВАО=90º+30º=120º

cos120º=-cos∠60º= -1/2

Из ∆ АОН

АО=АН/sin60º=a/√3

R²=а²+а²/3- (2а²/√3)*(-1/2)

R²=а²(4√3+3):3√3=а²(4√3+√3*√3):3√3

Сократим выражение на √3

R²=а²(4+√3):3

R=a√(4+√3):√3

Пусть O - точка пересечения диагоналей. Известно, что диагонали ромба перпендикулярны друг другу, а также делятся точкой пересечения пополам. По теореме Пифагора находим BO² = AB²-AO² = 100 - 25 = 75; BO = √75 = 5√3. BO = OD => BD = 2BO = 2*5√3 =10√3 Т.к. AO = 2AB, то угол ABP = 30°, тогда и угол ABC= 60°, т.к. диагонали делят углы, из вершин которых они выходят, на два равных. Мы знаем, что противоположные углы ромба равны, значит, угол ADC = 60°. Противоположные углы DAB и BCD равны. Находим угол DAB+BCD. DAB+BCD = 360°-60°-60°=240° => угол DAB = 120°, угол BCD = 120°.