1. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Определите возможный вид четырехугольника ABCD. 1) Ромб с острым углом 80°. 2) Прямоугольная трапеция. 3) Параллелограмм с углом 110°. 4) Равнобокая трапеция. 5) Четырехугольник с углом 210°. 2. Средняя линия трапеции, описанной около окружности равна 5. Боковая сторона равна 6. Найдите вторую боковую сторону. 1) 3 2) 4 3) 5 4) 6 5) 7 3. Выберите верное утверждение: 1) Все стороны четырехугольника, в который можно вписать окружность, равны между собой. 2) Биссектрисы четырехугольника, в который можно вписать окружность, пересекаются в одной точке. 3) Все углы четырехугольника, в который можно вписать окружность, равны между собой. 4) Диагонали четырехугольника, вписанного в окружность, равны между собой. 5) Нет верных утверждений. 4. В треугольник АВС вписана окружность, и к ней проведена касательная, пересекающая сторону АВ в точке К, а сторону ВС в точке М. Известно, что АК = 3, КМ = 2, МС = 4. Найдите периметр четырехугольника АКМС. 5. Найдите периметр прямоугольника, вписанного в окружность, радиуса 13, если одна из его сторон равна 10. 6. Окружность, проходящая через вершины В и С треугольника АВС, пересекает сторону ВА в точке Р, а сторону СА в точке Q. Известно, что угол АРО = 40°, угол АВС = 75°. Найдите угол А. 7. В трапецию ABCD (ВС и AD - параллельны) можно вписать окружность. Точка М лежит на стороне АВ, а N лежит на стороне CD. Можно ли вписать окружность в четырехугольник AMND? ответ обоснуйте.

1. Расстояние от точки до прямой - это перпендикуляр к прямой. Наклонные к прямой и этот перпендикуляр образуют два прямоугольных треугольника. с гипотенузами, равными 13см и 15см и катетами, равными Х и Х+4. Второй катет - искомое расстояние - общий. Тогда по Пифагору можем написать: 13²-х² = 15²-(х+4)².  Отсюда х=5см. Искомое расстояние равно: √(169-25) = 12 см.

2. Так как диагональ АС равнобокой трапеции АВСD образует с боковой стороной CD угол АСD, равный 90°, то большее основание трапеции AD  является диаметром описанной окружности и равно 2R. В прямоугольном треугольнике ACD: Sinα = CD/AD => CD=2R*Sinα, а AC=2R*Cosα. Высота трапеции СН - это высота треугольника ACD, опущенная из прямого угла и по свойству этой высоты, равна: АС*СD/AD или СН=4R²Sinα*Cosα/2R = 2RSinα*Cosα. Но по формуле приведения 2Sinα*Cosα =Sin2α. Тогда ответ:

СН = RSin2α.

Сказка о треугольниках 
Жила на свете важная геометрическая фигура. Важность её признавалась всеми людьми, ибо при изготовлении многих вещей форма её служила образцом. Любимая песенка этой чудо фигуры 
Меня знает каждый школьник, 
И зовусь я треугольник. 
У меня вершины три, 
Также три и стороны. 
Два угла при основании мои равны и боковые стороны одинаковые, думал треугольник и решил назвать себя равнобедренным. 
Скучно было равнобедренному треугольнику одному, отправился он искать друзей. Встречает как-то фигуру: стороны три и угла три. Вот только один угол прямой! Ура! Это прямоугольный треугольник! Стали они дружить. 
Вместе трудиться, вместе веселиться. Как – то встретили отрезок и решили поэкспериментировать: приложили его одним концом к вершине, а другим к середине противоположной стороны. Красота, это будет МЕДИАНА! Попробуем ещё – поделим угол пополам! 
Все также скачет по углам 
Веселая, смешная крыса. 
Мы делим радость пополам, 
А делит угол биссектриса. 
Вот так они проводили досуг. Однажды гуляя по лесу, встретили очень похожую парочку. Познакомились и стали играть в сравнение. Прижался равнобедренный треугольник к похожему на себя и все точки совпали. Ура! Мы одинаковые. Думали они о равенстве думали и придумали три теоремы: 
-если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то треугольники равны; 
- если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то треугольники равны; 
- если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то треугольники равны. 
Много времени проводят вместе друзья и встречают новых
измени немного текст под себя