Найдите площадь описанного около окружности правильного треугольника, если площадь вписанного в эту окружность квадрата равна 4√3 см².

Пусть с - сторона ромба, х - отрезок ВК, В - угол СВА ромба.

Тогда площадь робма равна

с^2*sin(B) = 18;

А площадь отсеченного треугольника

(1/2)*x^2*sin(B) = 1;

отсюда

x = c/3; (при этом, само собой, АК = 2*с/3;)

Пусть O - точка пересечения диагоналей (и центр вписанной в ромб окружности). 

Прямоугольные треугольники ВОК и АВО подобны, и угол ВОК = угол ВАО (то есть угол ВАС :)) Обозначим его за Ф.

Пусть ВО = а, тогда

x/a = a/c = sin(Ф);

Легко видеть, что 

с^2/3 = a^2; a/c = корень(3)/3;

То есть sin(Ф) = корень(3)/3;

1-ая задача:

 в цилиндре проведена плоскость , параллельна оси и отсекающая от окружности основания дугу 90 градусов

значит  в поперечном сечении образуется ПРЯМОУГОЛНИЫЙ равнобедренный треугольник  

-угол при оси цилиндра 90 град

-углы при основнии 45 град

-боковые стороны - катеты, равные радису цилиндра a=b=R

-высота h=4 равна расстоянию до оси цилиндра

тогда радиус R=h/sin45=4 / (√2/2)=4√2

длина окружности основания L=2R*pi = 2*4√2*pi=8√2*pi

длина основния треугольника(гипотенуза) c=R√2=4√2*√2=8

Диагональ сечения равна d=10

высота цилиндра (H)  по теореме Пифагора

H^2=d^2 - с^2 = 10^2 -8^2 =100-64=36  <---   H=6

площадь боковой поверхности цилиндра.Sбок = L*H=8√2*pi*6=48√2*pi

ОТВЕТ

48√2*pi

или

pi*48√2

или

48pi√2