4. В прямоугольном треугольнике СAВ (∠A= 90°) CВ = 12, ∠ABC = 30°. С центром в точке C проведена окружность. Каким должен быть ее радиус, чтобы: а) окружность касалась прямой AB; b) окружность не имела общих точек с прямой AB; c) окружность имела две общие точки с прямой AB?

Радиус=6

a)6

b)<6

c)>6

Объяснение:

AC-катет CB-гипотенуза

Так как катет лежит напротив угла 30 градусов то он равен половине гипотенузы. Катет равен радиусу. Это правильно

∆ АВС - равнобедренный, его углы при основании АВ равны по 22,5°, поэтому угол АСВ=180°-2•22,5=135°. 

Угол между плоскостью ∆ АВС и плоскостью α - двугранный, и его величина равна линейному углу, образованному прямыми, лежащими в соответствующих плоскостях и перпендикулярными линия их пересечения. 

ВН - высота тупоугольного ∆ АВС, проведенная к боковой стороне АС, поэтому её основание Н лежит на продолжении стороны АС. 

∠ВСН - смежный ∠АСВ и равен 180°-135°=45°  

ВН=ВС•sin45°=8•√2/2=4√2

ВН перпендикулярна прямой АС по построению;

наклонная КН, проведенная в точку Н, перпендикулярна прямой АС по теореме  о 3-х перпендикулярах, ⇒ ∠КНВ - искомый. 

Расстояние от вершины В до плоскости α равно длине перпендикуляра ВК, опущенного из точки В на плоскость α. 

По условию ВК=4, ⇒sin∠КНВ=ВК:АН=4:4√2=1/√2=√2/2 

Это синус 45°. 

Угол между плоскостью АВС и плоскостью α равен 45°.

Дано: ABCD - прямоугольник

BK⊥AC

∠ACD=60°

AB=8 см

Найти: BD = ?

OK = ?

Т.к ABCD - прямоугольник, то AB=CD=8 см

∠OCD=∠BAO (н/л BC || AD и сек. AC) = 60°

∠BCO=∠OAD (н/л) = 90-60=30°

В прямоугольном ΔABC, ∠B=90°, ∠ACB=30°. Напротив угла в 30° в прямоугольном Δ лежит катет, равный половине гипотенузы => AB=0,5*AC => 8=0,5*AC => AC=8:0,5 => AC=16

Диагонали в прямоугольнике точкой пересечения делятся пополам => AO=OC=8 см.

ΔOCD - р/б т.к OC=CD => ∠COD=∠ODC. Сумма углов в треугольнике равна 180° => ∠COD=∠ODC= (180°-60°)/2=60° => ΔOCD - равносторонний по признаку => OD=OC=CD=8 см

BO=OD (диагональ делится пополам точкой пересечения)

BD=2*OD

BD=2*8

BD=16 см

ΔBOA - равносторонний (AB=BO=AO=8 см) => BK - высота, биссектриса и медиана => OK= 0,5*AO; OK=0,5*8; OK=4

ответ: BD = 16 см; OK = 4 см

Объяснение: