Дано многокутник зі стороною a і висотою h, проведеною до цієї сторони. Укажіть формулу, за якою обчислюється площа S цього многокутника, якщо він є трикутником.

Дана пирамида МАВС, Δ АВС- правильный: АВ=ВС=АС.
Пусть АВ=ВС=АС=а,
Площадь равностороннего треугольника S=1/2·a·а·sin 60⁰=a²√3/4
МО- высота пирамиды, O- центр описанной окружности.
В равностороннем треугольнике центр описанной и центр вписанной окружности совпадают, поэтому ВО=R, OK=r
Так как S=p·r, выразим r через а:
r=a²√3/4 : (а+а+а)/2=а²√3/6.
Проведем апофему МК. МК перпендикулярна АС по теореме о треёх перпендикулярах, так как ОК перпендикуляр к АС.
Рассмотрим прямоугольный треугольник МОК, проведем перпендикуляр ОЕ.
Угол МОЕ=β. Треугольники МОЕ и МОК - прямоугольные, угол ОМК -общий. Значит треугольники подобны по двум углам.
Угол ОКМ =β,  tg OKM=MO/OK
 MO=OK·tgβ=a√3·tgβ/6
Тогда объём пирамиды

V=1/3· S·MO=1/3 · a²√3/4 · а√3 ·tg β/6=a³·tgβ /24
Так как V известен, то выразим а через  V  и tg β
a=∛(24·V/ tgβ)
Подставим найденное значение а в выражение площади через сторону а:
S=a²√3/4=∛(24·V/tgβ)² ·√3/4, так как ∛(24)²=4·∛9, то ответ упрощается;

S=√3·∛9V²/tg²β

Треугольник АВС, точка М внутри треугольника.
Продолжим BM до пересечения со стороной AC в точке N.
Тогда AB+AN > BN=BM+MN  
           MN+NC>MC.
Сложив почленно эти неравенства, получим:
AB+AN+NC+MN > MN+BM+MC, или AB+AC+MN > BM+MC+MN.
Отсюда следует, что AB+AC > BM+MC.     
Исходя из этогои следует, что для точки M , лежащей внутри треугольника ABC, верны неравенства:
MB+MC < AB+AC,
MB+MA < AC+BC,
MA+MC < AB+BC.
Сложив их почленно, получим
2(MA+MB+MC)<2(AB+BC+AC). Отсюда следует, что указанная сумма расстояний меньше периметра треугольника: (MA+MB+MC)<Р.
Применяя неравенство треугольника к треугольникам AMC, BMC и AMB, получим AM+MC>AC,
BM+MC > BC
AM+MB > AB,
Сложив их почленно, получим:
Откуда 2(AM+BM+CM)>(AB+AC+BC).
AM+BM+CM>1/2(AB+AC+BC).
Указанная сумма расстояний больше полупериметра треугольника: 
AM+BM+CM>1/2Р