1)Объем треугольной пирамиды SABCравен 54. Плоскость проходит через среднюю линию МР основания АВС этой пирамиды ( МР II АС) и пересекает противоположное боковое ребро в точке D, делящей это ребро в отношении 1: 8, считая от вершины S. Найдите объем пирамиды DМРB2)Найти объем треугольной пирамиды SDBC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, если объем шестиугольной пирамиды равен72 .3)Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 12, боковые ребра равны 10. Найдите объем этой пирамиды.буду очень благодарен

Відповідь:

Пусть данная пирамида будет МАВС, а сечение её плоскостью - АВТ. 

МТ:ТС=7:8 

Плоскость разбила исходную пирамиду на две с общим основанием АВТ и вершинами С - в нижней и М- в верхней. 

Проведем в плоскости сечения прямую ТН, а из вершин образовавшихся пирамид их высоты СК и МЕ перпендикулярно к этой прямой, лежащей в плоскости сечения, а значит и перпендикулярно  плоскости их общего основания. 

Треугольники МЕТ и СТК прямоугольные с равными острыми углами МТЕ=СТК - они вертикальные.

Следовательно, эти треугольники подобны, и отношение их высот равно отношению их сторон, т.е. 

МЕ:СК=МТ:СТ=7:8 

Объем пирамиды равен 1/3 произведения её высоты на площадь основания. 

Основание у обеих пирамид общее, следовательно, их объемы относятся как 7:8 

Содержание одной части этого отношения равно 30:(7+8)=2 

Объем пирамид с равным основанием больше у той, чья высота больше.

 V САВТ=2*8=16 (ед. объема) 

Пояснення:

Пусть данная пирамида будет МАВС, а сечение её плоскостью - АВТ. 

МТ:ТС=7:8 

Плоскость разбила исходную пирамиду на две с общим основанием АВТ и вершинами С - в нижней и М- в верхней. 

Проведем в плоскости сечения прямую ТН, а из вершин образовавшихся пирамид их высоты СК и МЕ перпендикулярно к этой прямой, лежащей в плоскости сечения, а значит и перпендикулярно  плоскости их общего основания. 

Треугольники МЕТ и СТК прямоугольные с равными острыми углами МТЕ=СТК - они вертикальные.

Следовательно, эти треугольники подобны, и отношение их высот равно отношению их сторон, т.е. 

МЕ:СК=МТ:СТ=7:8 

Объем пирамиды равен 1/3 произведения её высоты на площадь основания. 

Основание у обеих пирамид общее, следовательно, их объемы относятся как 7:8 

Содержание одной части этого отношения равно 30:(7+8)=2 

Объем пирамид с равным основанием больше у той, чья высота больше.

 V САВТ=2*8=16 (ед. объема) 

При пересечении двух прямых образуются только углы двух видов: смежные и вертикальные.

Перпендикулярные прямые рассматривать смысла нет: все углы по 90° и условие не выполняется, поэтому есть 2 тупых и 2 острых угла.

У смежных углов сумма равна 180°.

То есть даже на примере:

∠1 смежен с ∠3 и ∠4, то есть ∠1+∠3=180°, ∠1+∠4=180°

Аналогично ∠2 смежен с теми же углами. И ∠1=∠2.

И это явно не могут быть 2 тупых угла, так как они как вертикальные равны между собой, но если ∠3+∠4=140° и ∠3=∠4, то ∠3=∠4=70°, а они тупые, то есть такого быть не может. Поэтому это могут быть только ∠1 и ∠2, которые равны по 70° и являются друг для друга вертикальными.

Что и требовалось доказать.

При пересечении двух прямых образуются только углы двух видов: смежные и вертикальные.

Перпендикулярные прямые рассматривать смысла нет: все углы по 90° и условие не выполняется, поэтому есть 2 тупых и 2 острых угла.

У смежных углов сумма равна 180°.

То есть даже на примере:

∠1 смежен с ∠3 и ∠4, то есть ∠1+∠3=180°, ∠1+∠4=180°

Аналогично ∠2 смежен с теми же углами. И ∠1=∠2.

И это явно не могут быть 2 тупых угла, так как они как вертикальные равны между собой, но если ∠3+∠4=140° и ∠3=∠4, то ∠3=∠4=70°, а они тупые, то есть такого быть не может. Поэтому это могут быть только ∠1 и ∠2, которые равны по 70° и являются друг для друга вертикальными.

Что и требовалось доказать.