Комек тесындерш? Ушбырыш 2 есеп

Равноудаленная от катетов точка на гипотенузе делит её на отрезки длиной 30 см и 40 см. Найдите катеты треугольника. 
----
Обозначим треугольник АВС, С=90°, точку на гипотенузе К.  Так как точка равноудалена от катетов, расстояние от неё до них равно длине равных отрезков, проведенных к катетам перпендикуляров: КМ до ВС, КН до АС.

Все углы  четырехугольника МКНС, вписанного в прямоугольный треугольник АВС –  прямые, две стороны равны по условию, две другие им параллельны и противолежат,  поэтому он – квадрат. 

Его диагональ СМ для прямого угла С является биссектрисой. 

Биссектриса  угла треугольника делит противолежащую этому угла сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. ⇒

ВС:АС=ВК:АК. 

Обозначим АС=х, ВС=у. ⇒

у:х=30:40 ⇒ у:х=3:4 ⇒ 

у=3х/4

АВ=30+40=7•10

По т.Пифагора 

АВ²=АС²+ВС²=х²+у²  Заменим у на его значение, выраженное через х: 

7²•10²=х²+ 9х²/16

7²•10²=25x²/16

25x²=49•100•16

x²=49•4•16 ⇒x=7•2•4=56 см – длина АС

 ВС=3•56/4=42 см

Вариант решения. 

Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму оснований. 

S=CH•(AD+BC):2

Проведем СЕ || ВD до пересечения с продолжением АD в точке Е.  Противоположные стороны ВСЕD параллельны, он- параллелограмм, CE=BD, BC=DE.

Треугольник АСЕ - прямоугольный (СЕ║BD) 

Его площадь равна СН•(AD+DE):2/  Нo DE=BC ⇒

Площадь треугольника АСЕ равна площади трапеции. 

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. 

 S=AC•BD:2=14•10:2=70 (ед. площади)

---------

Первое решение дано по формуле площади четырехугольника S=d1•d2•sinf, где f- угол между диагоналями. 

Нахождение площади трапеции через площадь треугольника также нередко встречается в задачах. Оба решения  желательно помнить.