Через вершину D треугольника DEF, у которого DE=DF, проведён перпендикулярно BD к плоскости треугольника.Найти угол между плоскостями DEF и BEF, если EF=10 см, BE=7 см, BD=2√3 см.

Дано:

правильная треугольная пирамида SABC.

R - середина ребра ВС.

S - вершина.

АВ = 7

SR = 16

Найти:

S поверхности - ?

V - ?

Решение:

Правильный многоугольник - многоугольник, у которого все углы и стороны равны.

Правильная пирамида - пирамида, у которой основание - правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является её высотой.

=> в основании этой правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний △АВС.

Рассмотрим △АВС:

АВ = ВС = АС = 7, так как △АВС - равносторонний.

P△АВС = АВ + ВС + АС = 7 + 7 + 7 = 21

Так как △АВС - равносторонний => он ещё и равнобедренный.

BR = RC = 3,5, так как AR - медиана. (Также R - середина ВС, по условию)

Найдём высоту AR в △АВС, по теореме Пифагора:

с² = а² + b²

a = √c² - b²

a = √(7² - 3,5²) = √(49 - (7/2)²) = √(49 - 49/4) = √147/4 = √(147)/2 = 7√(3)/2

Итак, AR = 7√(3)/2

S осн = S △ (в основании)

S осн = S △АВС = 1/2ВС * AR = 1/2 * 7 * 7√(3)/2 = 49√(3)/4 ед.кв.

SR - высота боковой грани, так как SR - апофема.

Апофема - высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины.

S бок = 1/2Р * SR = 21/2 * 16 = 168 ед.кв.

S поверхности = S осн + S бок = 49√(3)/4 + 168 = 189,21762 ≈ 189 ед.кв.

Точка, на которую опущена высота SO, является серединой правильного треугольника (точка пересечения медиана).Эти медианы делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

AR/3 - АО основания AR. (2/3)

=> AR/3 - OR основания AR (1/3)

=> OR = 1/3 * 7√(3)/2 = 7√(3)/6

Рассмотрим △SRO:

△ASO - прямоугольный, так как SO - высота.

Найдём высоту SO, по теореме Пифагора:

с² = а² + b²

a = √(c² - b²)

a = √(16² - (7√(3)/6)²) = √(256 - 49/12) = √(9069)/6

Итак SO = √(9069)/6

V = 1/3S осн * SO

V = 1/3 * 49√(3)/4 * √(9069)/6= 49√(3023)/24 ед.кб.

ответ: ≈ 189 ед.кв.; = 49√(3023)/24 ед.кб.

1. Задача 1. решена пользователем
ХироХамаки Новичок
(решение в файле)

2. Условие задачи 2. неточное. Должно быть:
Основание АС равнобедренного треугольника лежит в плоскости α. Найдите расстояние от точки В до плоскости α, если АВ = 5, АС = 6, а двугранный угол между плоскостью треугольника и плоскостью α равен 60 градусам.

Проведем ВН⊥АС и ВО⊥α.
ВО - искомое расстояние.
ОН - проекция ВН на плоскость α, значит ОН⊥АС по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах.
∠ВНО = 60° - линейный угол двугранного угла между плоскостью α и плоскостью треугольника.
АН = НС = 6/2 = 3 (ВН - высота и медиана равнобедренного треугольника)
ΔАВН: по теореме Пифагора
             ВН = √(АВ² - АН²) = √(25 - 9) = √16 = 4
ΔВНО:  ВО = ВН · sin 60° = 4 · √3/2 = 2√3

3. АО⊥α, ОВ и ОС - проекции наклонных АВ и АС на плоскость α, тогда
∠АВО = ∠АСО = 60°.
ΔАВО = ΔАСО по катету и противолежащему острому углу (АО - общий катет и ∠АВО = ∠АСО = 60°), значит
АВ = АС = 6.