В треугольнике АВС известно что АВ=12см, ВС=8см, а угол В=60 градусов. Найдите сторону АС, угол А и угол С.

ответ: АС=4√7; угол А=40°; угол С=80°

Объяснение: чтобы найти АС воспользуемся теоремой косинусов:

АС²=АВ²+ВС²-АВ×ВС-2×cosB=

=12²+8²-12×8×2×½=144+64-96=112

AC=√112=4√7

По теореме синусов найдём угол А:

sinB/4√7=sinA/8

4√7sinA=8×sinB

4√7×sinA=8×√3/2

4√7×sinA=4√7

sinA=4√3÷4√7

sinA=√3÷√7

Угол А≈40°

Зная что сумма углов треугольника составляет 180°, найдём угол С

Угол С=180-60-40=80°

Сделаем рисунок и соединим противоположные вершины шестиугольника отрезками. Они пройдут через центр окружности, являются его диаметрами и делят шестиугольник на 6 равнобедренных треугольников ( их стороны - радиусы). 
Центральные углы  каждого из них равны 1/6  градусной меры окружности, т.е. 360º:6=60º
 Угол при вершине равнобедренного треугольника 60º - углы при основании также равны 60º. 
Образовавшиеся треугольники - равносторонние. Следовательно, сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу этой окружности - для данного шестиугольника равна 6.

Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность с радиусом 1, тоже равна 1.

Объяснение:

Так как шестиугольник можно разбить на 6 треугольников, у которых сторонами будут стороны самого шестиугольника и прямые, проведенные от центра шестиугольника к каждому из его углов. Эти маленькие треугольники будут равносторонними. Так как углы при вершине центра шестиугольника будут равны 360°:6=60°. А сам треугольник, считая основанием сторону шестиугольника, будет равнобедренным, так как сторонами будут радиусы описанной окружности. Так как в треугольнике сумма углов 180°, то на эти углы приходится 180°-60°=120°. Так как углы при основании равны, то 120°:2=60° - на каждый из оставшихся углов. Значит каждый из углов равен 60°. Это возможно в равностороннем треугольнике. Значит радиус равен стороне шестиугольника.