В треугольнике ABC сторона BC = 9 см. Найдите длину отрезка с концами на сторонах AB и AC, параллельного стороне BC и через точку пересечения медиан треугольника ABC.

поставь лучший ответ

точка пересечения медиан(центроид) делит медианы треугольника в соотношении 2:1

HK-отрезок на пересечении медиан

поскольку BC||HK ==> углы AHK=ABC AKH=ACB==> треугольник ABC пропорционален треугольнику AHK

за теоремой Фалеса о пропорциональных отрезках

(за ус. задачи HK Є центроиду) соотношение размеров за медианами 2:1

треугольник AHK= 2

ABC= 2+1=3

ABC:AHK=3:2

BC:HK=9:X

X=9/3*2

X=6

ответ HK=6

Первое, что нетрудно доказывается, --- треугольник АВК прямоугольный.
Площадь прямоугольного треугольника = половине произведения катетов)))
гипотенуза АВ = 4 --это очевидно из получившейся трапеции...
а чтобы найти катеты не хватает известных углов)))
на рисунке есть два равных треугольника:
треугольник АВК равен половине равнобедренного треугольника с боковыми сторонами 4 ---по гипотенузе и острому углу)))
из этого очевидно: АК = 2*КВ
по т.Пифагора
4х² + х² = 16  --->  5x² = 16
S(ABK) = (1/2)*x*2x = x² = 16/5 = 3.2

трапеция АВСД, МН-отрезок, ВС=1, АД=6, МН=4, продлеваем боковые стороны до пересечения их в точке О, треугольник АОС подобен треуг.МОН и ВОС по двум равным соответственным углам при основании треугольников, в подобных треугольниках площади относятся как квадраты соответствующих сторон, ВС²/АД²=S треуг.ВОС /S треуг.АОД, 1/36=S ΔВОС/S ΔАОД, S ΔВОС= SΔАОД/36, МН²/АД²=S ΔМОН/S ΔАОД, 16/36=S ΔМОН/S ΔАОД, S ΔМОН=16S ΔАОД/36, S трап.МВСН=S ΔМОН-S ΔВОС=16S ΔАОД/36 - S ΔАОД/36=15S ΔАОД/36, S трапец.АМНД=S ΔАОД - S ΔМОН=S ΔАОД - 15S ΔАОД/36=21S ΔАОД/36, трап.МВСН / трапец.АМНД = (15S ΔАОД/36) / (21S ΔАОД/36)=15/21=5/7