Вариант 1 1. Даны прямые MN, КЕ, КN. Известно, что MN = КЕ и MK = NE. Докажите, что прямые MN и КЕ – параллельны. 2. Дан равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. Известно, что сумма градусных мер внутренних углов при вершинах А и В равна 1420. Чему равен внешний угол при вершине В? 3. Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 150°. Высота, проведенная к боковой стороне, равна 5, 4 см. Найдите боковую сторону этого треугольника От этой работы зависит моя оценка в четверти. От все что есть

3.
ΔABC :    AB = BC;  CD - биссектриса.  ∠ADC = α

ΔABC - равнобедренный ⇒ 
∠BAC = ∠BCA    ⇒      ∠ACD = 1/2 BCA = 1/2 BAC
ΔADC
∠ADC + ∠BAC + ∠ACD = 180°
α + ∠BAC + 1/2 ∠BAC = 180°
3/2 ∠BAC = 180° - α
∠BAC = (180° - α)*2/3
∠BAC = 120° - 2/3 α             ∠BCA = ∠BAC = 120° - 2/3 α
∠B = 180° - (∠BCA + ∠BAC) = 180° - 2*(120° - 2/3 α) =
= 180° - 240° + 4/3 α = 4/3 α - 60°
ответ:  ∠BCA = ∠BAC = 120° - 2/3 α; ∠B = 4/3 α - 60°

Для решения 1 и 2 пунктов достаточно в полученные формулы вместо α  подставить соответствующие углы 60° и 75°

1. ΔABC :    AB = BC;  CD - биссектриса.  ∠ADC = 60°
∠BCA = ∠BAC = 120° - 2/3 * 60° = 120° - 40° = 80°
∠B = 4/3 * 60° - 60° = 20°
ответ: ∠BCA = ∠BAC = 80°;  ∠B = 20°

2. ΔABC :    AB = BC;  CD - биссектриса.  ∠ADC = 75°
∠BCA = ∠BAC = 120° - 2/3 * 75° = 120° - 50° = 70°
∠B = 4/3 * 75° - 60° = 40°
ответ: ∠BCA = ∠BAC = 70°;  ∠B = 40°

Пирамида правильная. Значит, основанием данной пирамиды является правильный многоугольник, а вершина  проецируется в центр этого многоугольника.

Апофемой называется высота боковой грани, проведенная из вершины правильного многогранника. 

Центр правильного треугольника - точка пересечения его высот, являющихся в правильном треугольнике медианами и биссектрисами. 

а)

На рисунке в приложении О - центр основания. СН - высота ( медиана). Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Следовательно, отрезок СО=2/3 высоты СН, отрезок ОН=1/3 высоты СН. 

Все углы правильного треугольника равны :180°:3=60°

CН=СВ•sin60°=6•√3/2

CO=6√3/6=√3

 ОН перпендикулярна АВ и является проекцией МН на плоскость АВС. По теореме о трёх перпендикулярах МН⊥АВ. => 

МН высота ∆ АМВ, т.е. апофема данной правильной пирамиды.

Высота пирамиды  перпендикулярна основанию. => МО⊥СН.

Из прямоугольного ∆МОН по т.Пифагора 

МН=√(МО²+НО²)=√(16+3)=√19 (ед. длины)

б) 

Все боковые грани правильной пирамиды - равные  равнобедренные треугольники. => их площади равны. 

S (AMB)=MH•AB:2=√19•6:2=3•√19

S(бок)=3•3√19=9√19 (ед. площади)