Один із кутів прямукутної трапеції дорівнює 45 . Обчисліть площу даної трапеції, якщо її основи дорівнюють 4 см і 8 см

Даны координаты вершин пирамиды:

A (1; -2;1) В (3;1; -2) С (2;2;5) D (-2;1;0).

Вычислить: 1) объем пирамиды.

Вектор АВ:    x      y   z

                        2     3   -3    Модуль (длина) = √22  ≈  4,690416.

Вектор АС:    x y      z

                       1  4  4    Модуль (длина) = √33 ≈ 5,744563.

Вектор AД:    x y z

                      -3 3 -1    Модуль (длина) = √19 ≈ 4,358899.

Объем пирамиды равен (1/6) смешанного произведения векторов:        

(AB{x1, y1, z1} ; AC{x2, y2, z2} ; AD{x3, y3, z3})= x3·a1+y3·a2+z3·a3.

Здесь a1, a2 и a3 это результаты векторного произведения АВхАС.

Подставив координаты точек, получим:

                   x     y        z

AB*AC =  ( 24       -11   5).

      АД=   ( -3        3        -1).

Объём пирамиды равен:

V = (1/6)*|24*(-3) + (-11)*3 + 5*(-1)| = (1/6)*110 ≈ 18,3333.

2) длину ребра AB - дана выше ;

3) площадь грани ABC равна половине векторного произведения АВхАС.  Выше получили: AB*AC =  ( 24       -11   5).

S(ABC) = (1/2)*√(24² + (-11)² + 5²) = (1/2)√722 ≈ (1/2)26,87006 ≈ 13,43503.

4) угол между ребрами AB и AD .

AB =    (2      3       -3),    |AB| = √22.

АД=   ( -3       3       -1),    |AD| = √19 .

Скалярное произведение равно 2*(-3) + 3*3 + (-3)*(-1) = -6 +9 +3 = 6.

cos(AB∧AD) = 6/(√22*√19) = 6/√418  ≈ 6/20,44505  ≈ 0,29347.

Угол равен 1,272942 радиан или 72,93421  градуса.

Боковая сторона равна малому основанию, т.к. накрест лежащие углы при основаниях равны.

Периметр равен 22, малая сторона а, проекция боковой стороны на основание (22 - 4a)/2 = 11 - 2a

рассмотрим два прямоугольных треугольника, образованных высотой, проекцией боковой стороны на основание и для малинового - диагональю, для красного - боковой стороной.

Для малого

tg (β) = 3x/(11-2a)

Для большого

tg (2β) = 7x/(11-2a)

Разделим одно уравнение на другое

tg (2β)/tg (β) = (7x/(11-2a)) / (3x/(11-2a))

tg (2β)/tg (β) = 7/3

---

по формуле тангенса половинного угла

tg (2β) = 2*tg (β) / (1 - tg² (β))

---

2*tg (β) / (1 - tg² (β)) /tg (β) = 7/3

1 - tg² (β) = 6/7

tg² (β) = 1/7

tg (β) = 1/√7

tg (2β) = 2*tg (β) / (1 - tg² (β)) = 2/√7 / (1 - (1/√7)²) = 2/√7 * 7/6 = √7/3

---

выразим косинус двойного угла через тангенс β

cos (2β) = (1 - tg² (β)) / (1 + tg² (β)) = (1 - 1/7) / (1 + 1/7) = 6/7 / 8/7 = 3/4

Косинус двойного угла - это отношение проекции боковой стороны к боковой стороне

cos (2β) = (11-2a)/a = 3/4

44 - 8a = 3a

44 = 11a

a = 4

Это малое основание

Большое основание

b = 22 - 3*a = 22 - 12 = 10

Средняя линия

c = 1/2(a+b) = 1/2(4+10) = 7