Через стороны ВС и АС треугольника АВС проведена плоскость параллельная стороне АВ и пересекающая эти стороны соответственно в т. В1 и А1. Найти А1В1, если АВ = 8 см и AA1/A1C = 5/3

3 см

Объяснение:

Тр-ки А1СВ1 и АВС подобны (по двум углам, АВ//A1B1, двое соответвенных углов с каждой стороны равны), значит и все их элементы подобны

A1B1/AB = A1C/AC = 3/(5+3) = 3/8

A1B1 = 3*8/8 = 3 см

H - высота, l - образующая конуса, r - радиус основания

Sп.п. = Sбок.пов + Sосн

Sосн = πr²

Если бы у нас был цилиндр, то площадь его боковой поверхности была бы:
Sбок.пов.цил. = 2πr * l, (где l была бы образующей цилиндра),
т.е.образующая l по кругу, но т.к. у нас конус, то площадь его боковой поверности будет равна ровно половине площади боковой поверхности цилиндра: 

Sбок. пов. конуса = πr * l
причем, для удобства можно сразу выразить l:

l = √(h² + r²), тогда формула бок пов конуса примет вид:
Sбок. пов. конуса = πr * √(h² + r²), тогда
Sпол.пов. конуса =  πr² + пr * √(h² + r²)
или
Sпол.пов. конуса =  πr² + πr*l = πr (r + l)

∠TAB=60° : 2=30° (AT - биссектриса)
∠B=180° - ∠A=180° - 60°=120° (∠A и ∠B - внутренние односторонние
                                                    углы при параллельных прямых).
∠BTA=180°-(∠TAB+∠B)=180°-(30°+120°)=30° (сумма углов Δ)
ΔABT - равнобедренный.
АB=BT=6 cм

BC=BT+TC=6 +2=8 см
BC=AD=8 см (противоположные стороны)

BD²=AB²+AD²-2AB*ADcos60°=
      =6²+8² -2*6*8*(1/2)=36+64-48=52
BD=√52=2√13 (см) 

AC²=AB²+BC²-2AB*BCcos120°=
      =6²+8²-2*6*8*cos(90°+30°)=
      =36+64-96*(-sin30°)=100-96*(-1/2)=100+48=148
AC=√148=2√37 (см)

ответ: 2√13 см  и  2√37  см.