ТОЛЬКА ЗА НОРМАЛЬНЫЙ ОТВЕТ ТОЛЬКА ЗА НОРМАЛЬНЫЙ ОТВЕТ ">

ВС = 3√21 см.

Объяснение:

Пусть основание перпендикуляра, опущенного на плоскость α - точка Н.

AH=9 см,<ABH=45°,<ACH=60°,<BHC=150°.

Заметим, что Cos150° = Cos(180 - 30) = -Cos30° = - √3/2.

В прямоугольном треугольнике АВН острые углы равны по 45°, треугольник равнобедренный и ВН=АН= 9см.

В прямоугольном треугольнике АСН тангенс угла С равен

Tg60 = √3 = AH/CH  => CH = 9/√3 = 3√3 см.

В треугольнике ВНС по теореме косинусов:

BC²=BH²+CH²-2*BН*CH*cos150 = 81+27 - 2*9*3√3*(-√3/2) или

ВС² = 108+81 =189

BC = √189 = 3√21 см.

Объем шара находят по формуле:
V=(4/3)*π*R³ 
Следовательно, для решения задачи нужно найти радиус этого шара. Сделаем рисунок. 
Плоскость основания пирамиды лежит на сечении шара.
Сечение - окружность, радиус ОА которой равен 2/3 высоты основания.
Так как радиус ОН вписанной в основание окружности равен 3,  а это 1/3 высоты основания, то 2/3 равны 6.  
Для нахождения радиуса описанного вокруг пирамиды шара есть формула:
R=b²:2H, где b боковое ребро, Н - высота пирамиды. 
Боковое ребро можно найти из прямоугольного треугольника АОМ по т. Пифагора. 
АМ²=(ОМ²+ОА²)=52
Тогда
R=b²:2H=52:8=6,5
V=(4/3)*3,14*(6,5)³ =1149,76 ( или, если на полный π умножить в калькуляторе, 1150,346 (ед. объема) 
Нужные формулы не всегда во-время вспоминаются. 
---------
Есть другой нахождения этого радиуса. (см. рисунок )
АЕ - диаметр окружности, описанной вокруг основания пирамиды, т.к. основание лежит на этой окружности.
МТ - диаметр шара.
АЕ и МТ - хорды, и произведения их отрезков, образованных точкой пересечения, равны.
Пусть ТР - радиус, отрезок ОТ=х. 
АО=ОЕ=6 (см. выше)
Тогда радиус равен МО+ОТ=4+х⇒
МО*ОР=АО*ОЕ
4*(4+х)=6*6
16+4х=36
4х=20
х=2,5⇒
R=4+2,5=6,5
V=(4/3)*3,14*(6,5)³ =1149,76  или более точно 1150,346 (ед. объема)