решить, только с об'яснением У рівнобедреному трикутнику АВС (АВ=ВС) проведено медіану ВМ. Периметр трикутника АВС дорівнює 36см, а периметр трикутника АВМ дорівнює 30см. Знайти довжину медіани ВМ.​

Дано :

параллелограмм NPKA

<ANK = 45°

<KNP = 65°

Найти:

<А, <К, <Р, <N, <NKA, <NKP = ?

<N = <ANK + <KNP = 45° + 65° = 110°

<N = <K = 110° (св-во параллелограмма - противоположные углы равны)

<А = 180° - <К = 180° - 110° = 70° (свойство параллелограмма - углы, прилежащие к любой стороне, в сумме равны 180°)

<Р = <А = 70° (св-во параллелограмма - противоположные углы равны)

<NKA = <KNP = 65° (н.л. при NP//AK и секущей NK)

<NKP = <K - <NKA = 110° - 65° = 45°

ответ: <А = <Р = 70° ; <К = <N = 110° ; <NKA = 65° ; <NKP = 45°

Если набранное решение пропадет еще раз - значит, не судьба.

Известная формула длины биссектрисы (если надо показать, как это получается, обращайтесь :)) 

L^2 = a*b - x*y;

Здесь L = 12, a = 14; b = 35; пусть с - третья сторона, тогда x и y - отрезки, на которые биссектриса делит с.

Из известного свойства биссектрисы x = c*a/(a + b); y = c*b/(a + b); поэтому

L^2 = a*b*(1 - c^2/(a + b)^2); то есть

c^2 = (a + b)^2*(1 - L^2/(a*b));

Вычисления дают с^2 = 1695,4 (это точное значение, а не приближенное, если не понятно.)

Поскольку найдены все три стороны, задача в принципе уже решена. Но вычисления по формуле Герона в данном случае слишком громоздки. Проще найти угол напротив стороны с.

По теореме косинусов (обозначено t = cos(C))

с^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*t;

t = (a^2 + b^2 - c^2)/(2*a*b);

Подстановка значений дает t = - 7/25; (угол С тупой) 

Отсюда sin(C) = 24/25;

Площадь S = a*b*sin(C)/2 = 14*35*(24/25)/2 = 235,2

 

Больше всего времени я потратил на поиски решения, использующего Пифагорову тройку 7,24,25, которая возникает по ходу решения. Увы -  не вышло. Может, кто-то сообразит?