1.Площадь большого круга равна Q. На каком расстоянии от центра шара находится сечение, площадь которого равна 3/4Q? 2. Длина отрезка, соединяющего центр шара с точкой M, принадлежащей касательной плоскости, равна d. Найдите расстояние от M до точки касания, если радиус шара равен R. 3. Все стороны правильного треугольника касаются сферы диаметром 12 см, плоскость треугольника удалена на расстояние 3 см от центра сферы. Найдите сторону треугольника

8. <DBC=63°

9. P = 36 ед.

10. Не полное условие.

Объяснение:

Дуга BD равна 2*27° = 54° (так как вписанный угол, опирающийся на эту дугу, равен половине градусной меры этой дуги).

Дуга BDAC = 180°, так как ВС - диаметр.

Дуга DAC = DDAC - BD = 180-54 = 126°.  =>

<DBC = 63° (вписанный, равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается).

9. Биссектрисы углов параллелограмма отсекают от него равнобедренные треугольники. В нашем случае эти биссектрисы имеют общую точку Е на стороне ВС. Значит

АВ = ВЕ и EC = CD  =>  BC = 2AB.

AB = СD и BC = AD (противоположные стороны параллелограмма).

Рabcd = 6*AB = 36 ед.

1

теорема косинусов

а)

вс^2=ab^2+ac^2 - 2*ab*ac*cosa=11^2+8^2 - 2*11*8*cos60=121+64-2*88*1/2=97

bc=√97 см

б)

ac^2=ab^2+bc^2 - 2*ab*bc*cosb=13^2+7^2-2*13*7*cos60=169+49-2*13*7*1/2=127

ас=√127 см

2

теорема косинусов

а)

cos120= - cos60

np^2=mn^2+mp^2 -2 mn*mp*cos120=7^2+15^2-2*7*15*(-cos60)=

=49+225-2*7*15*(-1/2)=379

np=√379 см

б)

np^2=

3

cos120= - cos60

а) меньшую диагональ (вd)

лежит напротив   острого угла < 60

bd^2=6^2+8^2-2*6*8*cos60=36+64-2*48*(1/2)=52

bd=√52=2√13 см

б) большую диагональ (ас)

лежит напротив тупого угла < 120

ac^2=6^2+8^2-2*6*8*cos120=36+64-2*48*(-1/2)=148

ac=√148=2√37 см

4

а) его стороны равны 8 мм и 10 мм, а одна из диагоналей равна 14 мм;

14^2=8^2+10^2 -2*8*10*cos< a

196=64+100 - 160*cos< a

32= - 160*cos< a

cos< a= - 32/160 =-1/5= -0.2

б) его стороны равны 12 дм и 14 дм, а одна из диагоналей равна 20 дм.

20^2=12^2+14^2 -2*12*14*cos< b

400=144+196-336* cos< b

60 =-336* cos< b

cos< b = - 60/336 = - 5/28

5

диагональ (d)и две стороны (a) (b) образуют треугольник

значит третий угол треугольника  < a=180-20-60=100 град

дальше по теореме синусов

a/sin20=b/sin60=d/sina=25/sin100

a=sin20*25/sin100=0.3420*25/0.9848=8.7 см

b= sin60*25/sin100=√3/2*25/0.9848=22 см

6

угол < с=180-< a-< b=180-30-40=110

по теореме синусов

ac/sin< b=bc/sin< a=ab/sin< c=2r

ac/sin40=bc/sin30=16/sin110

ac=sin40*16/sin110= 0.6428 *16/0.9397=10.94 см =11 см

bc= sin30*16/sin110=1/2*16/0.9397= 8.5 см

радиус описанной окружности

ab/sin< c=2r

r= ab/(2*sin< c)=16 / (2*sin110)=8/ sin110 = 8.5 см

7

8

углы параллелограмма а и в - односторонние

< a - напротив диагонали d1

< b=180-< a - напротив диагонали d2

cosa= - cosb=

d1^2=a^2+b^2-2ab*cosa

d2^2= a^2+b^2-2ab*cosb = a^2+b^2-2ab*(-cosa)= a^2+b^2+2ab*cosa

d1^2+d2^2 = a^2+b^2-2ab*cosa + a^2+b^2 +2ab*cosa = a^2+b^2 + a^2+b^2 = 2 *( a^2+b^2   )

доказано сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов (четырех)сторон

9

10

11

12

13