Найти площадь треугольникаABC с вершинами A(− 1, 0, 2) , B(1, − 2, 5) , C (3, 0, − 4)С подробным решением

Находим длины сторон по разности координат точек.

"A(− 1, 0, 2) , B(1, − 2, 5) , C (3, 0, − 4)"                                                      

AB = √((xB-xA)²+(yB-yA)²+(zB-zA)²) = 4 4 9 17 4,123105626

BC = √((xC-xB)²+(yC-yB)²+(zC-zB)²) = 4 4 81 89 9,433981132

AC = √((xC-xA)²+(yC-yA)²+(zC-zA)²)  = 16 0 36 52 7,211102551 .

Далее применяем формулу Герона.

Периметр АВС  Р =  20,76818931 p - a            p - b      p - c

Полупериметр р=  10,38409465 0,950113522 3,172992103 6,260989029

 S =   √196 = 14.  

Можно применить метод определения площади по векторам.

Находим векторы по координатам точек:

AB = {Bx - Ax; By - Ay; Bz - Az} = {1 - (-1); -2 - 0; 5 - 2} = {2; -2; 3}

AC = {Cx - Ax; Cy - Ay; Cz - Az} = {3 - (-1); 0 - 0; -4 - 2} = {4; 0; -6}

S =  (1/2)* |AB × AC|

Находим векторное произведение векторов:

c = AB × AC

AB × AC =  

i        j      k

ABx      ABy      ABz

ACx       ACy       ACz

 =  

i       j               k

2      -2      3

4        0      -6

 =   i ((-2)·(-6) - 3·0) - j (2·(-6) - 3·4) + k (2·0 - (-2)·4) =  

 = i (12 - 0) - j (-12 - 12) + k (0 + 8) = {12; 24; 8}

Определяем модуль вектора с:

|c| = √(cx² + cy² + cz²) = √(12² + 24² + 8²) = √(144 + 576 + 64) = √784 = 28

Найдем площадь треугольника:

S =  (1/2) *28   =  14 .

Сумма 4-х углов четырехугольника равна 360. Поскольку в паралелограмме противоположные углы равны, значит сумма двух соседних углов равна 180. Отнимаем 46 и делим на 2, получаем один угол 67, второй (+46) равен 113.

можно так:

Такие углы не могут быть противолежащими, так как они не равны. Значит, они прилежащие и их сумма равна 180°. Пусть один из углов равен х, тогда другой равен х+46°, по условию. Следовательно                                                х+(х+46)=180

2х+46=180

2х=180-46

2х=134

х=67-первый,а второй  х+46°=67+46=113 градусов

 

Если достаточно координат концов лучей звезды, то такая задача аналогична задаче поворота отрезка вокруг точки на заданный угол.
Для пятиконечной звезды угол равен 72 градуса.
Поместим центр окружности, в которую вписана звезда, в начало координат.
Пусть обозначим её точкой А (0;0).
Верхняя вершина звезды - точка В (0; R) - R задаётся координатой "у" точки В.
Далее по формулам (против часовой стрелки с плюсом, против - с минусом) указываем угол поворота.
X = x1+(x2-x1)*cos(A)-(y2-y1)*sin(A).
Y = y1+(x2-x1)*sin(A)+(y2-y1)*cos(A).

Для примера в приложении радиус дан 5.