Тема 14. Вектор. Довжина і напрям вектора. Сума векторів та її властивості. Координати вектора на площині. Скалярний добуток векторів та його властивості. Проекція вектора на осі координат. Тема 15. Система координат на площині. Формула відстані між двома точками площини. Рівняння прямої і кола.

Тема 14

Вектор - це напрямлений відрізок, тобто відрізок, який має довжину і певний напрямок. Графічно вектори зображуються у вигляді напрямлених відрізків прямої певної довжини.

Довжина напрямленого відрізка визначає числове значення вектора і називається довжиною вектора або модулем вектора AB.

Для позначення довжини вектора використовують дві вертикальні лінії зліва і справа |AB|.

Вектори, паралельні одній прямій або які лежать на одній прямій називають колінеарними векторами

Два колінеарних вектора a і b називаються Співнаправленими векторами, якщо їх напрямки співпадають: a↑↑b

Додавання векторів (сума векторів) a + b - це операція знаходження вектора c, всі елементи, якого дорівнюють попарній сумі відповідних елементів векторів a і b, тобто кожен елемент вектора c дорівнює:

с = a + b(це вектори, просто додаються)

Властивості:

Формули додавання і віднімання векторів для плоских задач

У випадку плоскої задачі суму та різницю векторів a = {ax ; ay} і b = {bx ; by} можна знайти скориставшись наступними формулами:

a + b = {ax + bx; ay + by}

a - b = {ax - bx; ay - by}

Формули додавання і віднімання векторів для просторових задач

У випадку просторової задачі суму та різницю векторів a = {ax ; ay ; az} і b = {bx ; by ; bz} можна знайти скориставшись наступними формулами:

a + b = {ax + bx; ay + by; az + bz}

a - b = {ax - bx; ay - by; az - bz}

Формули додавання і віднімання n -вимірних векторів

У випадку n -вимірного простору суму та різницю векторів a = {a1 ; a2 ; ... ; an} і b = {b1 ; b2 ; ... ; bn} можна знайти скориставшись наступними формулами:

a + b = {a1 + b1; a2 + b2; ... ; an + bn}

a - b = {a1 - b1; a2 - b2; ... ; an - bn}

Скалярним добутком двох векторів a і b буде скалярна величина, яка дорівнює добутку модулів цих векторів помноженому на косинус кута між ними:

a · b = |a| · |b| cos α(над векторами ще мають бути рисочки, просто в мене не виходить написати)

Скалярним добутком(інше визначення) двох векторів a і b буде скалярна величина, яка дорівнює сумі попарного добутку відповідних координат векторів a і b.

Властивості скалярного добутку векторів

Скалярний добуток вектора самого на себе завжди більше або дорівнює нулю:

a · a ≥ 0

Скалярний добуток вектора самого на себе дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли вектор дорівнює нульовому вектору:

a · a = 0   <=>   a = 0

Скалярний добуток вектора самого на себе дорівнює квадрату його модуля:

a · a = |a|2

Операція скалярного добутку комутативна:

a · b = b · a

Якщо скалярний добуток двох не нульових векторів дорівнює нулю, то ці вектори ортогональні:

a ≠ 0, b ≠ 0, a · b = 0   <=>   a ┴ b

(αa) · b = α(a · b)

Операція скалярного добутку дистрибутивна:

(a + b) · c = a · c + b · c

Проекцією вектора AB на вісь l називається число, що дорівнює величині відрізку AlBl вісі l, де точки Al і Bl є проекціями точок A і B на вісь l.

Проекцією вектора a на напрямок вектору b , називається число, яке дорівнює величині проекції вектора a на вісь, що проходить через вектор b.

Малюнок прикріплено)

Тема 15

Система координат б задання точок простору за до чисел. Кількість чисел, необхідних для однозначного визначення будь-якої точки простору, визначає його вимірність. Ці числа називають координатами. Координати на площині і в тривимірному просторі можна задавати багатьма різними

Малюнок прикріплено)

Формула для знаходження відстані між двома точками прикріплена)

Рівняння прямої і кола також прикріплено)

1. У параллелограмма противоположные углы равны.
2. Сумма противоположных углов параллелограмма равна 180 град (по условию)

Следовательно, а+а=180
                            2а=180
                            а=90(град) каждый из 2-х противоположных углов
3.Сумма углов параллелограмма (который является выпуклым четырёхугольником) равна 360 град.
(360-180):2=180:2=90(град) - остальные углы параллелограмма
4.Итак, все углы параллелограмма равны 90 град.
  (Данный параллелограмм является прямоугольником).
ответ: 90, 90, 90, 90

У любого параллелограмма противоположные углы равны
Сумма всех углов параллелограмма равна 360°.

АВСД - параллелограмм, ∠А=∠С, ∠В=∠Д
∠А+∠В+∠С+∠Д=360°

Рассмотрим условие 
а)сумма двух его противоположных углов равна 94 градуса.
То есть ∠А+∠С=94°
а поскольку ∠А=∠С, значит ∠А=∠С=94°/2=47°.

∠А+∠В+∠С+∠Д=360° и ∠В=∠Д, значит
47°+∠В+47°+∠Д=360°
∠В+∠Д=360°-94°
2∠В=266°
∠В=∠Д=266°/2
∠В=∠Д=133°

ответ: при условии а)  ∠А=∠С=47° и ∠В=∠Д=133°.

Рассмотрим условие
б)разность двух из них равна 70 градусов

Поскольку противоположные углы равны у параллелограмма, значит
разность противоположных углов равна 0°.
Выходит, что 70° это разность между двумя соседними углами, то есть
∠В-∠А=70°.
Допустим, что ∠А=Х°, значит
∠А=∠С=Х°
∠В=∠Д=Х°+70°

∠А+∠В+∠С+∠Д=360°
х+(х+70)+х+(х+70)=360°
4х+140°=360°
4х=220°
х=220°/4
х=55°
То есть ∠А=∠С=Х°=55°
∠В=∠Д=Х°+70°=55°+70°=125°

ответ: при условии б) ∠А=∠С=55° и ∠В=∠Д=125°