Периметр ромба ABCD дорівнює 24 сантиметрів а 1 із кутів у 3 рази більший за інший. 3найдіть відстань від точки A до прямої CD якщо кут A - гострий.

ответ: АН=6/√2см

Объяснение: Обозначим вершины ромба А В С Д. Так как его периметр=24см, то его сторона=24÷4=6см. Пусть острый угол ромба=х, тогда тупой=3х. Зная, что сумма прилегающих углов ромба составляет 180°, составим уравнение:

х+3х=180

4х=180

х=180÷4

х=45

Итак: угол А=углу С=45°, тогда

угол В=углу Д=45×3=135°.

Продлим прямую СД и проведём к ней из вершины А высоту АН. Получился прямоугольный треугольник АДН, в котором АН и ДН - катеты, а АД гипотенуза,

угол Н=90°. Так как прямая СД параллельна АВ, то угол А=углуАДН=45°

Если в прямоугольном треугольнике один из острых углов составляет 45°, то второй угол ДАН=45°. Этот треугольник равнобедренный АН=ДН, поэтому каждый катет равен гипотенузе/√2, поэтому АН=ДН=6/√2см

Прикладываю рисунок* 
Так как угол ADC=45 градусам по условию, то угол BCD=180-45=135 по свойству. Рассмотрим треугольник CHD. В нем угол CHD равен 90 градусов, так как CH-высота. Угол ADC равен 45 градусам по условию, а угол CHD=180-90-45=45 градусам. Соответственно, этот треугольник равнобедренный - HD=CH. 
Рассмотрим фигуру ABCH. В ней углы ABC и HAB равны 90 градусов, так как трапеция прямоугольная. Угол AHC=90 градусов, так как CH-высота трапеции. Угол BCH=135-45=90 градусов. Следовательно ABCH - прямоугольник. По условию задачи BC=27 см, значит и AH=BC=27 см, так как это прямоугольник. Из этого можно найти HD. AD равно 33 см по условию, AH=27, поэтому HD=33-27=6 см. Так как треугольник CHD - равнобедренный, в нем HD=CH=6 см. Высота найдена, можно искать площадь трапеции. 
Sтрапеции=27+33/2 * 6 = 180 см^2 
ответ:180 см^2

Отметим, что наименьший угол прямоугольной трапеции, это единственный острый угол. (на нашем рисунке это <D).
SinD=EP/HD => EP=DH*SinD.
SinD=GP/HC => GP=HC*SinD.
PH=√(GP*PE), как высота из прямого угла (<GHE=90°, так как опирается на диаметр GE). Тогда PH=SinD√(HD*CH).
Но √(HD*CH)=OH - высота из прямого угла в прямоугольном треугольнике СOD c <COD=90° (свойство трапеции: "В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°"). А так как ОН=АВ/2=R, то РН=(АВ/2)*SinD.
Площадь четырехугольника EFGH равна сумме площадей треугольников EFG и EHG.
Sefg=(1/2)*EG*OF = (1/2)*AB*(1/2)AB=AB²/4.
Sehg=(1/2)*EG*PH = (1/2)*AB*(AB/2)*SinD=AB²*SinD/4.
Тогда площадь четырехугольника EFGH равна (AB²/4)*(1+SinD).
Площадь трапеции равна (1/2)*(BC+AD)*AB. Но поскольку в трапецию вписана окружность, то ВС+АD=АВ+СD (свойство: "В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон").
В треугольнике CDK: CK=CD*SinD, но СК=АВ, значит CD=AB/SinD.
Тогда Sabcd=(1/2)*(AB+AB/SinD)*AB =AB²*(1+1/sinD)/2.
По условию Sabcd=4*Sefgh. или (АВ²*(1+1/sinD)/2=4*(AB²/4)*(1+SinD).
Отсюда 1/SinD==2 и SinD=1/2.
ответ: острый угол D трапеции равен 30°.