В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з катетом 12см і гіпотенузою 20см. Знайдіть об'єм піраміди, якщо всі її бічні ребра нахилені до площини основи під кутом 45грдусів.

Примем сторону куба равной а. 

Проведем сечение через В1МN. Оно пересекает плоскость, содержащую грань ABCD,  в точках К - на продолжении АВ, и Е - на продолжении ВС. 

∆ КВЕ - проекция ∆ КВ1Е на плоскость, содержащую основание куба. 

АМ=МА1; CN=NC1 ( дано)

АМ - средняя линия ∆ КВВ1. ⇒ ВК=2а

CN- средняя линия  ∆ ВСВ1 ,⇒ ВЕ=2а. 

∆КВЕ - равнобедренный прямоугольный. Углы при КЕ=45°

КЕ=ВЕ:sin45°=2a√2

По свойству медианы прямоугольного треугольника медиана (высота, биссектриса) ∆ КВЕ=2a√2:2=a√2

Диагональ ВD  квадрата АВСD=а√2  

Медиана ∆ КВЕ совпадает с  ВD. 

Следовательно, плоскость MB1N проходит через вершину D куба. 

      * * * 

Формула диагонали куба а√3. Можно доказать, что медиана ∆ КВ1Е равна а√3 и поэтому совпадает с диагональю куба В1D. 

Равнобедренный треугольник - это треугольник у которого 2 боковые стороны равны , а третья сторона является основанием . В равнобедренном треугольнике углы при основании равны .
Дано :                                Чертёж.
Δ АВС                                ( Начертить равнобедренный треугольник АВС).
Доказать , что       
треугольник -
равнобедренный . 
                                       Доказательство:
1) АВ=ВС - по условию задачи .
2) ∠А=∠С-по условию задачи.
⇒ Δ АВС - равнобедренный.
                                                                                                   ч.т.д.