5. Точка К находится на расстоянии 4 см от каждой из вершин правильного треугольника МРО. Найти длину стороны треугольника, если точка К удалена от плоскости МРО на 2 см.

Сторона треугольника АВ = "а". Пусть точка О - точка пересечения биссектрис. Опустим перпендикуляр ОН на сторону АВ.  Пусть в прямоугольном треугольнике АОН катет АН = х. Тогда в прямоугольном треугольнике ВОН катет ВН = (а-х). Выразим радиус r вписанной окружности (общий катет треугольников) через второй катет и угол, прилежащий к этому катету. r = x*tg(A/2)  и r = (a-x)*tg(B/2). Приравняем оба выражения.

x*tg(A/2) = (a-x)*tg(B/2)  =>  x = a*tg(B/2)/(tg(A/2)+tg(B/2)).

Тогда  r = a*tg(B/2)*tg(A/2)/(tg(A/2)+tg(B/2)).

Найдем биссектрисы АО и ВО из треугольников АОН и ВОН:

АО = r/Sin(A/2)  = a*tg(A/2)*tg(B/2)/(Sin(A/2)(tg(A/2)+tg(B/2))).

BO = r/Sin(B/2) = a*tg(A/2)*tg(B/2)/(Sin(B/2)(tg(A/2)+tg(B/2))).

Т.к. центром окружности является начало координат а координаты одной из точен нам известны, то отрезок соединяющие К с центром координат будет радиусом.
1) Т.к. координата -3 это длина отрезка по оси ОХ, а -4 по оси ОУ, эти так сказать длины отрезков можно взять в качестве катетов прямоугольного треугольника с гипотенузой КО(К и начало координат).
2) Дальше по теореме Пифагора находим гипотенузу: ОК=√((-3)²+(-4)²)
ОК=5
3) Т.к. Радиус это половина диаметра то: 4*2=8 
ответ: Диаметр окружности равен 8
Слава СССР!