В правильной треугольной пирамиде SABC, M - середина ребра AB, S - вершина. Известно, что сторона основания 6, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 24. Найдите длину отрезка SM​

Рассмотрим параллелограмм АВСД (см. рисунок) стороны которого: АВ=32 см, ВС=40 см. Из угла АВС проведем перпендикуляр ВЕ и расстояние между вершинам тупых углов ВД
Рассмотрим треугольник АВЕ:
Угол АЕВ=90 градусов, Гипотенуза АВ=32 см, Катет АЕ=16 см (по условию задачи)
По теореме Пифагора найдем второй катет (высоту):
ВЕ= √(АВ^2-АЕ^2)= √(32^2-16^2)= √(1024-256)= √768 см.
Теперь рассмотрим треугольник BДE:
ДЕ=АД-АЕ=40-16=24 см. ВЕ=√768 см. Угол ВЕД=90 градусов
По теореме Пифагора найдем ВД:
ВД=√(ВЕ^2+ВД^2)= √((√768)^2+24^2))= √(768+576)= √1344=8√21 см или приблизительно 36,66 см.
ответ: расстояние между вершинами тупых углов равно 8√21 см

Площадь правильного треугольника находится по формуле

,

 

где a - длина стороны треугольника

Площадь любой из граней пирамиды равна

или

1)

Площадь боковой поверхности равна сумме трех площадей правильного треугольника со стороной 11 см.

 

 

3)

 

4) Площадь полной поверхности равна сумме четырех площадей правильного треугольника со стороной 11 см.

 

 

или

 

2) Объем найти сложнее. Нужна высота пирамиды.

 

Высоту можно найти из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды (это катет), Стороной (боковой гранью) пирамиды (гипотенуза) и частью высоты треугольника, лежащего в основании пирамиды (второй катет). Такой треугольник будет прямоугольным, так как высота перпендикулярна всей плоскости основания пирамиды (в том числе и отрезку, соединеящему основание высоты и боковую грань-как раз второй катет.). Нам нужно найти второй катет. Высота пирамиды падает на центр и вписанной и описанной окружности. Так как пирамида правильная. Это будет пересечение биссектрис или серединных перпендикуляров. В правильном треугольнике точка пересечения биссектрис совпадает с точкой пересечения медиан. А медианы в точке пересечения делятся в отношении 2 к 1 считая от вершины. Значит длина второго катета равна 2/3 высоты правильного треугольника со стороной 11 см. Высота правильного треугольника равна по формуле

 

 

В данном случае

 

 

2/3 от этой высоты равна

 

 

 

По теореме Пифагора найдем первый катет в прямоугольном треугольнике

 

 

 

 

Объем пирамиды находим по известной формуле