Основание пирамиды – равнобедренный треугольник, площадь которого равна 3 м2, а угол между боковыми сторонами равен 30 градусов. Все боковые ребра пирамиды составляют с плоскостью основания угол 45 градусов. Найдите площадь полной поверхности и объем пирамиды

Билет №1.
1.Фигуры на плоскости
2 Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведенных через середины этих сторон.
3Рассмотрим ΔBAO и ΔOCD
AO=OC - по условию
BO=OD - по условию
∠AOB=∠COD - вертикальные
⇒  ΔBAO=ΔOCD - по первому признаку (2 стороны и угол между ними)

Билет №2.
1. геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (которая называется вершиной угла)Это угол равный 180..Любой угол разделяет плоскость на 2 части. Если угол неразвёрнутый, то одна из частей называется внутренней, а другая внешней областью этого угла.Если угол развёрнутый, то любую из двух частей, на которые она разделяет плоскость можно считать внутренней областью угла. 
Фигуру, состоящую из угла и его внутренней области, так же называют углом.От любой полупрямой в заданную  полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°,и только один.
2. Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею дуги пополам.
3.т. к. Сумма углов треугольника 180°,
 значит третий угол 180-32-57=91°
Билет №3.
1.Равносторонним треугольником называется треугольник, у которого все его стороны равны.1) Все углы равностороннего треугольника равны по 60º.2) Высота, медиана и биссектриса, проведённые к каждой из сторон равностороннего треугольника, совпадают,3)Точка пересечения высот, биссектрис и медиан называется центром правильного треугольника и является центром вписанной и описанной окружностей (то есть в равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают).4) Точка пересечения высот, биссектрис и медиан правильного треугольника делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершин.6) Расстояние от точки пересечения высот, биссектрис и медиан до любой стороны треугольника равно радиусу вписанной окружности.7) Сумма радиусов вписанной и описанной окружностей правильного треугольника равна его высоте, медиане и биссектрисе.8) Радиус вписанной в правильный треугольник окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности.
2.Если из какой-нибудь точки провести две касательные к окружности, то их отрезки от данной точки до точек касания равны между собой и центр окружности находится на биссектрисе угла, образованного этими касательными.
3. Возьмем отрезок АД за х, тогда ОА = х+8:   х+х+8=24. 2х=16, х=8

Трапеция - четырехугольник. В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны. 

 Сумма длин боковых сторон данной трапеции равна сумме оснований и равна ее полупериметру. 

ВС+АД=АВ+СД=120:2=60

Площадь трапеции равна произведению ее высоты на полусумму оснований ( среднюю линию)

Средняя линия равна (АД+ВС):2=30

ВН и СК - высоты трапеции. 

Высоту ВН трапеции найдем, разделив площадь на полусумму оснований 

ВН= 540*30=18

Трапеция равнобедренная ⇒ АН=КД

Из прямоугольного треугольника АВН найдем АН:

АН=√(30²-18²)=24

ВС+НК+АН+КД=60

ВС=НК; АН=ДК

2 ВС+2*24=60

2 ВС=12

ВС=6

Треугольники, образованные диагоналями и основаниями, подобны. 

Сумма их высот равна высоте трапеции =18 

Пусть высота меньшего х, высота большего - 18-х

Тогда ВС:АД=х:(18-х)

6:(6+48)=х:(18-х) 

Решив пропорцию, получим высоту меньшего треугольника 1,8. 

Это и есть искомое расстояние.