Ме­ди­а­на BM и бис­сек­три­са AP тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K, длина сто­ро­ны AC втрое боль­ше длины сто­ро­ны AB. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABK к пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ка KPCM.​

Решение на картинке.

△BAC, ∠BAC=48°
△BAL, △CAL - равнобедренные треугольники

Рассмотрим случаи:

1) ∠B=∠BAL

1.1) ∠С≠∠CAL, т.к. в противном случае BL=AL=CL, медиана равна половине стороны, следовательно проведена из прямого угла, но ∠BAC=48°.

1.2) ∠CAL=∠ALС
∠ALС=2∠B (внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним)
∠CAL=2∠B
∠BAL+∠CAL=48° <=> 3∠B=48° <=> ∠B=16°, ∠С=180°-∠B-∠BAC=116°

1.3) ∠С=∠ALС
∠ALС=2∠B (внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним)
∠С=2∠B
∠С+∠B=180°-48°=132° <=> 3∠B=132° <=> ∠B=44°, ∠С=88°

2) ∠BAL=∠ALB
2.1) ∠С=∠CAL. Аналогично 1.2
2.2) ∠CAL≠∠ALC. Углы при основаниях равнобедренных треугольников острые, следовательно не могут составлять развенутый угол.
2.3) ∠C≠∠ALC, см. 2.2

3) ∠B=∠ALB
3.1) ∠С=∠CAL. Аналогично 1.3
3.2) ∠CAL≠∠ALC, см. 2.2
3.3) ∠C≠∠ALC, см. 2.2

Объяснение:

r - радиус вписанной окружности, r = 12 см.

АВ = NP = 2r = 2 x 12 = 24 см.

СН - высота трапеции, СН = АВ = 24 см.

По теореме Пифагора в треугольнике НСD:

CD^2 = CH^2 + HD^2;

25^2 = 24^2 + HD^2;

625 = 576 + HD^2;

HD^2 = 49;

HD = 7 см.

Пусть NC = x см. Тогда по свойству касательных СК = NC = х см.

DK = DC - CK = 25 - x.

PH = NC = x;

DP = DH + PH = 7 + x.

По свойству касательных: DP = DК. Получим уравнение:

7 + х = 25 - х;

х + х = 25 - 7;

2х = 18;

х = 9.

NC = 9 см;

ВС = BN + NC = r + x = 12 + 9 = 21 см;

AD = AP + PD = r + 7 + x = 12 + 7 + 9 = 28 см.

Периметр трапеции:

P = AB + BC + CD + AD = 24 + 21 + 25 + 28 = 98 см.