решить. 1. Основание прямой призмы – ромб, диагонали призмы равны 20 см и 18 см, высота призмы – 16 см. Найдите сторону основания призмы. 2. В правильной четырехугольной пирамиде площадь полной поверхности равна 450 дм2, а площадь боковой поверхности 369 дм2. Найдите сторону основания, высоту и объем пирамиды. 3. Высота цилиндра 20 дм, радиус основания 15 дм. Найдите: а)площадь сечения проведенного параллельно оси цилиндра на расстоянии 9 дм от нее; б) объем цилиндра. 4. Радиусы оснований усеченного конуса равны 20 и 8 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности конуса, если его высота равна 16 см.

1) √53 дм. 2)20√2 дм². 3)V = 8√3/3 см³, S = 16√3 см².

Объяснение:

1) Найдём диагонали основания по Пифагору.

D = √(20² - 16²) = √(400 – 256) = √144 = 12

d = √(18² - 16²) = √(324 – 256) = √68

a = √(D +d)/2

a = √(12² + (√68)²)/2 = √(144 + 68)/2 =√212/2 = √53

ответ: √53 дм.

2) Основания – квадраты. D – диагональ большего основания, d – диагональ меньшего основания.

Диагональное сечение – трапеция высотой 4 и с основаниями D и d.

D = 8√2; d = 2√2

S = 1/2*(8√2 + 2√2)*4 = 1/2* 10√2* 4 = 20√2

ответ: 20√2 дм².

3) ABC – равносторонний треугольник, EO – радиус вписанной окружности, r = a√3/6.

EO = 4√3/6 = 2√3/3

DE – апофема, ∠EDO = 90 – 60 = 30°

⟹ DE = 2EO = 4√3/3

DO – высота пирамиды, DO = √(DE² - EO²)

DO = √((4√3/3)² - (2√3/3)²) = √(16*3/9 – 4*3/9) = √(48/9 – 12/9) = √(36/9) = √4 = 2

V = ha²/4√3

V = 2*4²/4√3 = 2*16/4√3 = 8/√3 = 8√3/3

Sосн. = √3/4 * a²; Sбок. = 1/2PL

S осн. = 4²*√3/4 = 16√3/4 = 4√3; Sбок. = 1/2*16*4√3/3 = 32√3/3

S = 4√3 + 32√3/3 = 12√3/3 + 32√3/3 = 48√3/3 = 16√3

ответ: V = 8√3/3 см³, S = 16√3 см².

N1. ответ во вложении.

N2.Дано:

MN=7

NK=12

KM=11

Найти:

NF=?

ME=?

KP=?

1)Если из точки к окружности проведены две касательные, то длины отрезков от этой точки до точек касания равны. Отсюда:

NE=NF=x

ME=MP=y

KP=KF=z

2)Составляем систему уравнений:

1.x+y=7 получаем: x=7-y

2.x+z=12 подставляем:

7-y+z=12

z=12-7+y

z=5+y

3.y+z=11 подставляем:

y+5+y=11

2y=6

y=3

ME=3

4.x=7-y=7-3=4

NF=4

5.z=5+y=5+3=8

KP=8

ответ: ME=3, NF=4, KP=8

N3. 1)360°=3x+7x+8x

360=18x

x=20°

2)ABдуга=3х=3*20=60

BCдуга=7х=7*20=140

ACдуга=8х=8*20=160

3) Вписанный угол в два раза меньше дуги, на которую он опирается.

Поэтому <А=140/2=70

<B=160/2=80

<C=60/2=30

ответ: <А=70

<B=80

<C=30

Данный двугранный угол равен линейному SEO, где Е - середина стороны AD.

Квадрат со стороной 18 имеет диагональ 18 корней из 2, половина этой диагонали - отрезок ОА - равен 9 корней из 2. Из треугольника ASO находим:

SA = 18 корней из 2.

Поскольку в основании квадрат, то SA = SD, треугольник ASD равнобедренный с тремя известными нам сторонами: 18 корней из 2; 18 корней из 2; 18.

Высота, проведенная к основанию SE = 9 корней из 7.

Отрезок ОЕ = 18/2 = 9

Косинус угла SEO равен (корень из 7)/7

Искомый угол равен arccos√7/7.