У нас есть две точки, M(2; 7; 3) и N(–1; 1; 0), через которые проходит плоскость. Мы также знаем, что плоскость равноудалена от этих точек. Это означает, что расстояние от любой точки на плоскости до точки M должно быть равно расстоянию от этой же точки до точки N.
Для начала, найдем координаты вектора, идущего через точки M и N. Этот вектор будет лежать в плоскости и будет перпендикулярен ей. Мы можем найти его вычтя координаты точки N из координат точки M:
Вектор МН = M - N = (2 - (-1), 7 - 1, 3 - 0) = (3, 6, 3)
Теперь мы можем записать уравнение плоскости в общем виде: Ax + By + Cz + D = 0
Мы знаем, что плоскость проходит через ось Оу, поэтому она должна иметь особенность y = 0. Таким образом, у нас будет:
0x + By + 0z + D = 0 --> By + D = 0
Теперь нам нужно найти значения B и D. Мы знаем, что вектор МН = (3, 6, 3) лежит в плоскости, поэтому он должен быть перпендикулярен нормали плоскости. Нормальный вектор плоскости может быть найден с помощью векторного произведения векторов МН и этой нормали.
Мы знаем, что длина нормального вектора равна расстоянию от точки M до плоскости. Расстояние от точки до плоскости может быть найдено с помощью следующей формулы:
расстояние = |Ax + By + Cz + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)
Мы хотим, чтобы это расстояние было равноудалено от точек M и N. Поэтому:
Мы можем использовать эти два уравнения для определения значений B и D:
1) By + D = 0: Поскольку плоскость должна быть равноудалена от точек М и Н, то D = 0. Также, поскольку плоскость проходит через ось Оу, то у нас должно быть B ≠ 0. Поэтому мы выберем B = 1. Имеем: D = 0.
2) 2A + 7B + 3C + D = -A + B + D: Подставляем значения B = 1 и D = 0:
2A + 7(1) + 3C + 0 = -A + 1 + 0
2A + 7 + 3C = -A + 1
Теперь мы можем решить это уравнение относительно A и C:
3A + 3C = -6 --> A + C = -2 (Делим оба члена на 3)
Таким образом, у нас есть система уравнений:
A + C = -2 (Уравнение 1)
By + D = 0 (Уравнение 2)
Мы можем выбрать значения для A и C, и соответствующим образом построить плоскость. Например, возьмем A = 1 и C = -3, получаем:
1 + (-3) = -2
1y + 0 = 0
Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и равноудаленной от точек М(2; 7; 3) и N(–1; 1; 0), можно записать как:
У нас есть две точки, M(2; 7; 3) и N(–1; 1; 0), через которые проходит плоскость. Мы также знаем, что плоскость равноудалена от этих точек. Это означает, что расстояние от любой точки на плоскости до точки M должно быть равно расстоянию от этой же точки до точки N.
Для начала, найдем координаты вектора, идущего через точки M и N. Этот вектор будет лежать в плоскости и будет перпендикулярен ей. Мы можем найти его вычтя координаты точки N из координат точки M:
Вектор МН = M - N = (2 - (-1), 7 - 1, 3 - 0) = (3, 6, 3)
Теперь мы можем записать уравнение плоскости в общем виде: Ax + By + Cz + D = 0
Мы знаем, что плоскость проходит через ось Оу, поэтому она должна иметь особенность y = 0. Таким образом, у нас будет:
0x + By + 0z + D = 0 --> By + D = 0
Теперь нам нужно найти значения B и D. Мы знаем, что вектор МН = (3, 6, 3) лежит в плоскости, поэтому он должен быть перпендикулярен нормали плоскости. Нормальный вектор плоскости может быть найден с помощью векторного произведения векторов МН и этой нормали.
Нормальный вектор = МН × норма = (3, 6, 3) × (A, B, C)
Мы знаем, что длина нормального вектора равна расстоянию от точки M до плоскости. Расстояние от точки до плоскости может быть найдено с помощью следующей формулы:
расстояние = |Ax + By + Cz + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)
Мы хотим, чтобы это расстояние было равноудалено от точек M и N. Поэтому:
|A*2 + B*7 + C*3 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2) = |A*(-1) + B*1 + C*0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)
Упрощая это уравнение, получаем:
2A + 7B + 3C + D = -A + B + D
Теперь у нас есть два уравнения:
By + D = 0
2A + 7B + 3C + D = -A + B + D
Мы можем использовать эти два уравнения для определения значений B и D:
1) By + D = 0: Поскольку плоскость должна быть равноудалена от точек М и Н, то D = 0. Также, поскольку плоскость проходит через ось Оу, то у нас должно быть B ≠ 0. Поэтому мы выберем B = 1. Имеем: D = 0.
2) 2A + 7B + 3C + D = -A + B + D: Подставляем значения B = 1 и D = 0:
2A + 7(1) + 3C + 0 = -A + 1 + 0
2A + 7 + 3C = -A + 1
Теперь мы можем решить это уравнение относительно A и C:
3A + 3C = -6 --> A + C = -2 (Делим оба члена на 3)
Таким образом, у нас есть система уравнений:
A + C = -2 (Уравнение 1)
By + D = 0 (Уравнение 2)
Мы можем выбрать значения для A и C, и соответствующим образом построить плоскость. Например, возьмем A = 1 и C = -3, получаем:
1 + (-3) = -2
1y + 0 = 0
Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и равноудаленной от точек М(2; 7; 3) и N(–1; 1; 0), можно записать как:
x + 0y - 3z = -2