10. Отрезок AS=5 перпендикулярен плоскости ромба ABCD, O- точка пересечения диагоналей AC и BD, BD=6, OA=4. Найдите площадь треугольника BSD

Дано:

Ромб ABCD.

AS = 5; BD = 6; OA = 4.

AS ⊥ ABCD.

AC ∩ BD = O.

Найти:

S ΔBSD = ? ед.кв.

Решение:

Соединим точки S и D; точки S и B. Образовалось два отрезка - SD и SB, благодаря которым, мы получили ΔBSD на данной плоскости.

Проведём высоту SO ΔBSD так, что SO ⊥ BD.

Т.к. AS ⊥ ABCD ⇒ ΔASO - прямоугольный.

Найдём высоту SO ΔBCD, по теореме Пифагора (c = √(a² + b²), где c - гипотенуза, a и b - катеты):

SO = √(OA² + AS²) = √(4² + 5²) = √(16 + 25) = √41 ед.

S ΔBSD = 1/2BD * SO = 1/2 * 6 * √41 = 3√41 ед.кв.

ответ: S ΔBSD = 3√41 ед.кв.

Выберите верные утверждения: *

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

Если две стороны одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум сторонам другого, то такие треугольники равны.

Если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого, то такие треугольники равны.

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.

Чтобы доказать эту теорему, построим два прямоугольных гольника ABC и А'В'С', у которых углы А и А' равны, гипотенузы АВ и А'В' также равны, а углы С и С' — прямые

Наложим треугольник А'В'С' на треугольник ABC так, чтобы вершина А' совпала с вершиной А, гипотенуза А'В' — с равной гипотенузой АВ. Тогда вследствие равенства углов A и А' катет А'С' пойдёт по катету АС; катет В'С' совместится с катетом ВС: оба они перпендикуляры, проведённые к одной прямой АС из одной точки В. Значит, вершины С и С' совместятся.

Треугольник ABC совместился с треугольником А'В'С'. 
Следовательно, тр. АВС = тр. А'В'С'.