в прямоугольный треугольник вписана окружность, каксательная делит меньший катет на 1 и корень из 3, найдите угоы треугольника​

острый угол между гипотенузой и меньшим катетом 60°

угол между гипотенузой большим катетом 30°.

Раз диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD трапеции и она вписана в окружность, значит большее основание AD является диаметром этой окружности бо только тогда угол при боковой стороне и диагональю будет 90°.
Значит большее основание AD равно 2R = 20см. Боковая сторона CD по Пифагору будет равна √(20²-16²) = √144=12см. Площадь треугольника ACD по известной формуле равна 1/2а*h, где а - основание, h - высота. Площадь равна 1/2АС*CD =(1|2)*16*12=96см. Но с другой стороны эта же площадь равна (1/2)AD*h, где h - высота трапеции. Отсюда h = 96:(1/2)*20=9,6см.
Кусочек большего основания ND, откушенный от него высотой трапеции из точки С по Пифагору равен √(12²-9,6²)=7,2см Тогда меньшее основание трапеции ВС=AD-2ND=20-14,4=5,6см.
Итак, плошадь трапеции равна (1/2)*(AD+BC)*h=(1/2)*(20+5,6)*9,6 = 12,8*9,6=122,88см²

В  прямоугольном  треугольнике  АВС  <c  =  90,  sin<A  =  23/25,  AC  =  4V6
Найти  АВ.
cos<A  =  V(1  -  sin^2<A)  =  V(1  -  (23/25)^2)  =  V(1  -  529/625)  =  V96/625  =  4V6/25
cos<A  =  AC / AB    >  AB  =  AC / cos<C  =  4V6 / (4V6/25)  =  4V6 * (25/4V6)  =  25       ответ.     25
2  вариант  решения.
sin<A  =  BC/AB  =  23/25.    Пусть  BС  =  23х,  АВ  =  25х.  Тогда  по  теореме  Пифагора    АВ^2   =  AC^2   +  BC^2   >  (25x)^2  =  (4V6)^2  +  (23x)^2
625x^2  =  96  +  529x^2
625x^2  -  529x^2  =  96
96x^2  =  96   >  x^2  =  1  >  x_1  =  -1  посторонний  корень
                                                   х_2  =  =  1
АВ  =  25х  =  25*1  =  25.
ответ.  25.