В треугольнике ABC продолжения медиан из вершин B и C пересекают описанную окружность в точках B₁ и C₁ соответственно. На стороне AB выбрана точка X, а на стороне AC − точка Y так, что BX=2AX, CY=2AY. Докажите, что ∠BXC₁ =∠CYB₁.

D - центроид; E, F - основания медиан

CD/DF =CY/AY =2/1 => YD||AB (теорема о пропорциональных отрезках)

∠AB₁B=∠ACB (опираются на одну дугу)

∠AEB₁=∠BEC (вертикальные)

△AEB₁~△BEC (по двум углам), AE/BE=B₁E/CE

YD||AB => AE/BE=YE/DE => YE/DE=B₁E/CE

△YEB₁~△DEC (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), ∠EDC =∠EYB₁=∠CYB₁

Аналогично ∠FDB=∠BXC₁

∠EDC=∠FDB (вертикальные) => ∠CYB₁=∠BXC₁

--- 1 ---
3√3/OT = cos(60°)
3√3/OT = √3/2
OT = 6
T(6;0)
--- 2 ---
E₂M₂ = √3
E₂M₂/E₂T = tg(30°)
√3/E₂T = √3
E₂T = 1
E₁T = 1
M₁(7;√3) 
M₂(5;-√3)
--- 3 ---
b = h*2/√3
проекция стороны b на горизонтальный луч угла
h/√3
Подобие треугольников, образованных перпендикулярами к горизонтальному лучу угла, отрезками луча угла и секущей
√3/(5-a) = h/(a-h/√3))
a√3 - h = 5h - ah
a(h+√3) = 6h
a = 6h/(h+√3)
Теорема косинусов для третьей стороны
c² = a² + b² - 2*a*b*cos(60)
c² = a² + b² - a*b
и ограничение на периметр = 12
a + b + c = 12
c² = (12 - a - b)²
a² + b² - a*b = 144 + a² + b² - 24a - 24b + 2ab
144 - 24a - 24b + 3ab = 0
144 - 24(6h/(h+√3)) - 24(h*2/√3) + 3(6h/(h+√3))(h*2/√3) = 0
144 - 144h/(h+√3) - 16h√3 + 12h²√3/(h+√3) = 0
Домножаем на (h + √3)
144(h+√3) - 144h - 16h√3(h+√3) + 12h²√3 = 0
144h + 144√3 - 144h - 16h²√3 - 48h + 12h²√3 = 0
144√3 - 48h - 4h²√3 = 0
36√3 - 12h - h²√3 = 0
h² + 4√3*h - 36 = 0
D = 48 + 4*36 = 48+144 = 192 = (8√3)²
h₁ = (-4√3 - 8√3)/2 = -6√3
h₂ = (-4√3 + 8√3)/2 = 2√3
Отрицательный корень в мусор
h = 2√3
a = 6*2√3/(2√3+√3) = 6*2√3/(3√3) = 4
b = 2√3*2/√3  = 4
c² = 4² + 4² - 2*4*4*1/2
c² = 16 + 16 - 16 = 16
c = 4
a + b + c = 12 
Площадь треугольника
S = a*h/2 = 4√3
----------------
Точка М₁ действительно генерирует треугольники с большим периметром. Вычисление минимального периметра мне не удалось, но периметр четырёхугольника, образованного сторонами угла и перпендикуляром к ним равен 
7 + 5 + √3 + 3√3 = 12 + 4√3, а любая секушая, проходящая через М₁ даст бОльший периметр треугольника, чем четырёхугольника.
Как-то так.

Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла. Биссектриса - геом. место точек, равноудаленных от сторон угла. Если окружность касается сторон угла, ее центр удален от сторон угла на радиус, следовательно лежит на биссектрисе угла.

Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикуляра.

Если требуется док-во через треугольники, то проводим радиусы в точки касания, образованные треугольники равны по общей гипотенузе и катетам, острые углы равны.